Resolviendo un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método gráfico

ENUNCIADO. Resolver de forma gráfica el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&=&1 \\ x&+&y&=&1\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Despejando la variable $y$ de las dos ecuaciones, podemos expresar el sistema de la forma $$\left\{\begin{matrix}y&=&x&-&1 \\ y&=&-x&+&1 \end{matrix}\right.$$ Sus dos ecuaciones corresponden a las de sendas rectas en el plano expresadas en forma explícita: $$r:y=x-1$$ y $$s:y=-x+1$$ Un par de puntos para la recta $r$ son $A_r(0,-1)$ y $B_r(1,0)$; y otros dos para $s$ son $A_s(0,1)$ y $B_s(1,0)$

Representando los dos pares de puntos ( uno para cada recta ) dibujamos sendas rectas:

Como las rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección ( que aparece en el gráfico con un aspa ) $(1,0)$; por tanto, concluimos que la solución es $x=1$, $y=0$
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Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica ( aproximada ) y exacta ( empleando un método algebraico )

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )

SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).

Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.

Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$

Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$

Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano

podemos medir las coordenadas el punto $S$ que representan los valores aproximados de la solución del sistema de ecuaciones: $x \approx 1,5$ e $y \approx -0,5$.

b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$

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El lado más largo de un rectángulo mide ...

Enunciat:
El costat més llarg d'un rectangle fa dos metres més que el més curt. Sabem que el perímetre d'aquest rectangle mesura $16 \, \text{dm}$. Quant val l'àrea del rectangle?

Resolució:
Si anomenem $x$i $y$ a les longituds dels costats desiguals del rectangle, i considerant que $x > y$; de l'enunciat, podem plantejar el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} 2x+2y = 16 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$

simplificant la primea equació el podem escriure de forma més senzilla

$\left.\begin{matrix} x+y = 8 \\ x = y+2\\ \end{matrix}\right\}$

Substituint l'expressió de $x$ de la segona equació en la primera trobem una equació amb una sola variable

$y+2+y=8$
que equival a
$2y=8-2$
és a dir
$2y=6$
d'on trobem que
$y=3 \, \text{dm}$

i, per tant, el valor de $x$ ha de ser igual (primera equació) a
$x=8-3$
és a dir
$x=5 \, \text{dm}$

Ara ja podem calcular l'àrea del rectangle, multiplicant les longituds dels dos costats

$A=5 \cdot 3 = 15 \, \text{dm}^2$
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[nota del autor]

Clasifíquense los siguiente sistemas de ecuaciones según su solución ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Estudieu els següents sistemes d'equacions:
    a)
          $\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
    b)
          $\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
    c)
          $\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$

Solució:
    a)
          $\left.\begin{matrix}x & + & y&=&1\\ x & +&y&=&2\\\end{matrix}\right\}$
Els primers membres d'ambdues equcions són iguals, llavors els segons membres també ho ha de ser, però, en igualar-los, ens trobem amb una contradicció: $1=2$. Concloem que el sistema és incompatible ( no té solució ).

    b)
          $\left.\begin{matrix}3\,x & - & y&=&4\\ -6\,x & +&2\,y&=&-8\\\end{matrix}\right\}$
La segona equació és igual a la primera multiplicada per $-2$, per tant el sistema equival a una sola equació amb dues incòngnites $3\,x-y=4$ i en donar valors arbitraris a una de les dues (variable secundària), l'altra (la variable principal) pren el valor que l'estructura de l'equació li fa correspondre. Com que podem donar infinits valors a la variable secundària, hi ha infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat.

    c)
          $\left.\begin{matrix}x & - & y&=&-1\\ x & +&y&=&1\\\end{matrix}\right\}$
Aquest sistema és compatible determinat; li correspon un sol valor a la variable $x$ i un sol valor a la variable $y$, valors que podem calcular fàcilment, en aquest cas, perquè si sumem terme a terme ambdós membres de les equacions obtenim l'equació $2\,x=0$ (equació equivalent a cada una de les dues) de la qual deduïm que $x=0$ i, substituint aquest valor en una de les dues originals, trobem que $y=1$.
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[nota del autor]

Un cierto número natural es mayor que ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Sabem que un determinat nombre natural és més gran que $10$ i més petit que $100$, i que la suma de les seves xifres és igual a $9$. Per altra banda, sabem també que si invertim l'ordre de les seves xifres, s'obté un altre nombre natural que, restant-lo del primer, dóna com a resultat el nombre $27$. De quin nombre natural estem parlant ?.

Solució:
Anomenem $x$ a la xifra de les desenes i $y$ a la xifra de les unitats del nombre demanat. Llavors, traduint les frases de l'enunciat al llenguatge de l'àlgebra, tenim: (i) $x+y=9$, i, (ii) $(10\,x+y)-(10\,y+x)=27$. Per tant, cal resoldre el següent sistema d'equacions:
    $\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ 9 \,x &-&9\,y&=&27\\ \end{matrix}\right.$
simplificant la segona equació,
    $\left\{\begin{matrix}x &+&y&=&9 \\ x &-&y&=&3\\ \end{matrix}\right.$
i, sumant membre a membre, totes dues equacions
    $2\,x=12$ i, doncs, $x=6$ ( xifra de les desenes ). Amb la qual cosa, $y=9-6$, que és igual a $3$ ( xifra de les unitats ).
El nombre demanat és, per tant, $63$
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[nota del autor]