Resolviendo un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica ( aproximada ) y exacta ( empleando un método algebraico )

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
a) empleando el método gráfico ( geométrico ), que es aproximado \par
b) empleando algún método exacto ( algebraico )

SOLUCIÓN.
a) Cada una de las ecuaciones dadas representa una recta en el plano. Así que si dichas rectas son secantes, el sistema es compatible determinado, y su solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas, que, como veremos es ese el caso del problema. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que otros sistemas podrían dar rectas paralelas no coincidentes ( sistema compatible incompatible ) o bien recta paralelas coincidentes ( sistema compatible indeterminado ).

Procedemos a representar dichas rectas. Sólo necesitamos dos puntos para determinar una recta en el plano.

Encontremos dos puntos para la primera recta ( primera ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=-2$, luego encontramos el punto $A_1(0,-2)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=2$, y por tanto otro punto de la recta es $B_1(2,0)$

Encontremos dos puntos para la segunda recta ( segunda ecuación ):
Dando valor nulo a $x$ vemos que $y=1$, luego encontramos el punto $A_2(0,1)$; por otra parte, dando valor nulo a $y$, encontramos $x=1$, y por tanto otro punto de la recta es $B_2(1,0)$

Representando ahora ambas rectas en el mismo diagrama cartesiano

podemos medir las coordenadas el punto $S$ que representan los valores aproximados de la solución del sistema de ecuaciones: $x \approx 1,5$ e $y \approx -0,5$.

b)
Calculemos ahora la solución de forma exacta mediante algún método algebraico. Emplearemos el método de reducción:
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
Sumando las dos ecuaciones miembro a miembro llegamos al siguiente sistema equivalente reducido
$$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 2 \\ 2\,x & & & = & 3 \end{matrix}\right.$$
Despejando $x$ de la segunda ecuación $$x=\dfrac{3}{2}=1,5$$ y sustituyendo este resultado en la primera $$\dfrac{3}{2}-y=2$$ luego $$y=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}=-0,5$$

$\square$

Empleando el método de reducción para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método algebraico llamado de reducción: $$\left\{\begin{matrix}2x & - & 3y & = & 1 \\ 3x & + & 2y & = & 1 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.

Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra

ENUNCIADO. Sea un número entero positivo de dos cifras cuya suma es $9$. Si lo escribimos del revés ( las unidades como decenas y las decenas como unidades ), obtenemos otro número que es $45$ unidades mayor que el original. ¿ Cuál es ese número ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$

    $\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim $

      $\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim $

        $\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$

Así, pues, el número pedido es $27$

$\square$

Resuelva las siguientes ecuaciones ....

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) $5\,(1-3\,x)=7\,(2+4\,x)$

b) $\dfrac{2}{3}-\dfrac{1-x}{6}=\dfrac{2+3\,x}{12}$

c) $x^2+10\,x+9=0$

d)
$\left\{\begin{matrix}
2\,x & - & y &=1\\
x & + & 3\,y &=-2\\
\end{matrix}\right.$

Solución:

a)

$5\,(1-3\,x)=7\,(2+4\,x)$
  $5 - 15x=14+28x$
    $5 - 14 = 15x+28x$
      $-9=43x$
        $x=-\dfrac{9}{43}$

b)
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1-x}{6}=\dfrac{2+3\,x}{12}$
  $12 \cdot \dfrac{2}{3}-12 \cdot \dfrac{1-x}{6}=12 \cdot \dfrac{2+3\,x}{12}$
    $4\cdot 2 - 2(1-x)=2+3x$
      $8-2+2x=2+3x$
        $6+2x=2+3x$
          $6-2=3x-2x$
            $4=x$
              $x=4$

c)
$\left.\begin{matrix}
2\,x & - & y &=1\\
x & + & 3\,y &=-2\\
\end{matrix}\right\}$
Procedemos a resolver el sistema empleando el método de reducción. Multiplicando por $3$ los dos miembros de la primera ecuación -- hay otras formas igualmente válidas de llevar a cabo el proceso de reducción -- y sumando, miembro a miembro, a la tercera, obtenemos una nueva ecuación que es equivalente a cualquiera de las dos, con lo cual llegamos al siguiente sistema equivalente, que es más sencillo que el original
$\left.\begin{matrix}
2\,x & - & y &=1\\
7x & & &=1\\
\end{matrix}\right\}$
Despejando $x$ de la segunda ecuación, $x=\dfrac{1}{7}$, y sustituyendo este resultado en la primera, $6\cdot \dfrac{1}{7}-3y=3$, de donde despejando $y$ se obtiene $y=-\dfrac{5}{7}$

$\square$

[nota del autor]