Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra

ENUNCIADO. Sea un número entero positivo de dos cifras cuya suma es $9$. Si lo escribimos del revés ( las unidades como decenas y las decenas como unidades ), obtenemos otro número que es $45$ unidades mayor que el original. ¿ Cuál es ese número ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$

    $\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim$

      $\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim$

        $\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$

Así, pues, el número pedido es $27$

$\square$