ESO3A ( e. aplicadas ) - Puntualizaciones y anotacios sobre los contenidos expuestos y las lecturas del libro de texto de la semana del 14 al 20 de diciembre

Cálculo de la tasa de interés anual en un problema de interés compuesto

Un sencillo ejercicio sobre el problema del interés compuesto

ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés compuesto durante $5$ años, con una tasa de interés anual del $2\,\%$. Se pide:
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.

SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$

b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$

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El problema del interés compuesto

ENUNCIADO. Dejamos depositados $500$ euros, a un interés ( compuesto ) del $1\,\%$ anual, durante $10$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ?

SOLUCIÓN.
El capital final viene dado por $C_{final}=C_{inicial}\cdot (1+i)^t$ y, con los datos del problema obtenemos $C_{final}=500\cdot (1+0,01)^{10}=552{,}31\;\text{euros}$
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Resolver el siguiente problema de interés compuesto

ENUNCIADO. Dejamos depositados $200,00$ euros, a un interés ( compuesto ) del $3\,\%$ anual, durante $5$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ? ¿ Cuál será el beneficio ?.

SOLUCIÓN.
La fórmula del capital final, a interés compuesto, es $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso $i=3/100=0,03$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Entonces, con los datos del problema $$C_{\text{final}}=200,00\cdot (1+0,03)^5=231,85\; \text{euros}$$
( aproximando el resultado de la operación al céntimo de euro )
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Interés simple y compuesto ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el capital inicial $C_0$ i els interessos que dóna $I$ sabent que, aquest capital inicial invertit a una taxa d'interès anual $i$ del $5\,\%$, produeix en $4$ anys un capital final $C_n$ de $1\,500 \; \text{euros}$, tenint en compte que els càlculs es fan d'acord amb els següents models:
  a) interès simple
  b) interès compost

Solució:
a)
Segons el model d'interès simple,
    $C_n=C_{0}\,n\,i+C_0$
expressió que també es posar així
    $C_n=C_{0}\big(\,n\,i+1\big)$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
    $1500=C_{0}\big(4\cdot 0,05+1\big)$
i resolent l'equació
    $C_0=\dfrac{1500}{1,2} = 1250 \,\text{euros}$

Per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
    $I=C_n-C_0$
      $=1500-1250$
      $=250 \, \text{euros}$

b)
Segons el model d'interès compost,
    $C_n=C_{0}\,(1+i)^n$
Posant les dades ( $n=4$ , $i=0,05$ ) arribem a
    $1500=C_{0}\big(1+0,05\big)^4$
i resolent l'equació
    $C_0 = \dfrac{1500}{1,05^4} \approx 1234,05 \,\text{euros}$

De la mateixa manera que en l'apartat anterior, per calcular els interessos $I$, cal calcular la diferència entre el capital final i el capital inicial:
    $I=C_n-C_0$
      $=1500-1234,05$
      $=265,95 \, \text{euros}$

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[nota del autor]