Cálculo de probabilidades en relación al juego del dominó

ENUNCIADO. Se elege al azar una ficha de un juego de dominó. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que en la ficha elegida aparezca el número $0$ ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en dicha ficha sea igual a $6$ ?

SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas del juego del dominó aparecen en la siguiente tabla

06
05  16
04  15  26
03  14  25  36
02  13  24  35  46  
01  12  23  34  45  56
00  11  22  33  44  55 66

a)
Todas las fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, luego podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida. El número total de fichas es $N=28$, y el número de fichas en las que aparece un '0' es $7$, así que la probabilidad de que en la ficha elegida al azar haya un '0' es
$P(\text{"salga un '0' al extraer una ficha"})=\dfrac{N(\text{número de fichas en las que sale un '0'})}{N}$
                                                               $=\dfrac{7}{28}=\dfrac{1}{4} = 25\,\%$

b)
Los valores que se pueden dar al sumar los dos números que aparecen en las fichas del dominó están en el conjunto $\{0,1,2,\ldots,12\}$ En esta segunda tabla se han anotado el valor de la suma de todas las fichas, correspondiendo las posiciones a las de las fichas representadas en la primera tabla

6
5   7
4   6   8
3   5   7   9
2   4   6   8  10  
1   3   5   7   9  11
0   2   4   6   8  10 12

Haciendo el recuento de dichos valores podemos elaborar la siguiente con el

valor de la suma           número de veces que aparece
----------------           ---------------------------
     0                               1
     1                               1
     2                               2
     3                               2
     4                               3
     5                               3
     6                               4
     7                               3
     8                               3
     9                               2
    10                               2
    11                               1
    12                               1 
                            --------------------------
                                   N = 28

Entonces, pensando el espacio muestral formado por el conjunto de fichas ( con el correspondiente par de puntuaciones en cada una ), y teniendo en cuenta que cada ficha tiene la misma probabilidad de ser elegida, la probabilidad pedida es $$P(\text{'suma=6'})=\dfrac{N(\text{'6'})}{N}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7} \approx 0,1429 \sim 14\,\%$$
$\square$

Estableciendo qué cantidad es mayor que otra

ENUNCIADO. ¿ Qué es mayor $\displaystyle 2^{3^{2^{3}}}$ ó $2^{2^{3^{2}}}$ ?

SOLUCIÓN.
$$2^{3^{2^{3}}}=2^{3^8}=2^{6561}$$ y $$2^{2^{3^{2}}}=2^{2^9}=2^{512}$$ luego $$2^{2^{3^{2}}} \;< \; 2^{3^{2^{3}}}$$
$\square$

Planteando y resolviendo problemas con fracciones

ENUNCIADO. En la primera etapa de un viaje en automóvil se ha gastado una cuarta parte del depósito ( inicialmente lleno ); y, en la segunda y última etapa, tres quintas partes de lo que había quedado en la primera etapa. Al final del viaje había $18$ litros de combustible en el depósito. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

SOLUCIÓN. Se ha gastado $\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{14}{20}$ partes del depósito ( inicialmente lleno ), luego los $18$ litros corresponden a $1-\dfrac{14}{20}=\dfrac{6}{20}$ partes del combustible que había en el depósito al empezar el viaje. Sabiendo ésto, para calcular la capacidad $x$ de dicho depósito basta plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{6}=\dfrac{x}{18}$$ con lo cual $$x=\dfrac{20\cdot 18}{6}=60 \; \text{litros}$$

$\square$