sábado, 4 de febrero de 2017
Una sencilla aplicación de las sucesiones aritméticas al problema del interés simple
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés simple durante $10$ años, con una tasa de interés anual del $1\,\%$. Se pide:
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
a) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo
b) El valor del capital final
SOLUCIÓN.
a) Calculamos los intereses, $I$, mediante la fórmula ( justificada en clase ) $I=C\,i\,n$, donde $i$ es la tasa de interés anual ( expresada en tanto por unidad ) y $n$ es el número de años. Con los datos del enunciado, obtenemos $$I=2\,000 \cdot 0,01 \cdot 10 = 200\; \text{euros}$$
b) El capital final es por tanto $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}+I$$ esto es $$C_{\text{final}}=2\,000+200=2\,200\;\text{euros}$$
$\square$
Un sencillo ejercicio sobre el problema del interés compuesto
ENUNCIADO. Colocamos un capital de dos mil euros a interés compuesto durante $5$ años, con una tasa de interés anual del $2\,\%$. Se pide:
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
a) El valor del capital final
b) El valor de los intereses que ha producido el capital inicial a lo largo de ese tiempo.
SOLUCIÓN:
a) Sabemos que $C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^n$ siendo $i$ la tasa de interés anual y $n$ el número de años. Y con los datos del enunciado, $$C_{\text{final}}=1000\cdot (1+0,02)^5$$ esto es $$C_{\text{final}}=1\,104,08\, \text{euros}\quad (\text{redondeando al céntimo)}$$
b) Los intereses ( beneficios ) vienen dados por $$C_{\text{final}}-C_{\text{inicial}}=104,08 \, \text{euros}$$
$\square$
Un ejercicio con sucesiones aritméticas
ENUNCIADO. El segundo término de una sucesión aritmética es $3$ y el cuarto término es $4$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los treinta primeros términos
SOLUCIÓN.
a) Como $a_2=a_1+d \quad (1)$, podemos escribir que $4=a_1+d$, con lo cual nos damos cuenta de que para poder calcular el valor $a_1$ necesitamos antes conocer el valor de la diferencia $d$.
Relacionemos los datos del problema: $a_4=a_3+d=a_2+d+d=a_2+2\cdot d$, es decir, $4=3+2\,d$, luego despejando $d$, obtenemos $d=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$
Así que, de (1), $a_1=a_2-d$, y con los datos y el valor de $d$ recién calculado, $$a_1=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
b)
Para calcular la suma de los $n$ primeros términos emplearemos la fórmula justificada en clase $$S_n=n\cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$$ Y, en nuestro caso, $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+a_{30}}{2} \quad (2)$$ Nos falta conocer, sin embargo, el valor de $a_{30}$, que calcularemos empleando la fórmula del término general $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$, para $n\ge 1$; así, tenemos $$a_{30}=\dfrac{5}{2}+(30-1)\cdot \dfrac{1}{2}=17$$ Sustituyendo finalmente en (2) llegamos a $$S_{30}=30\cdot \dfrac{5/2+17}{2}=\dfrac{585}{2}=292,5$$
$\square$
viernes, 3 de febrero de 2017
Un ejercicio con sucesiones geométricas
ENUNCIADO. El tercer término de una sucesión geométrica es $\dfrac{1}{2}$ y el quinto término es $\dfrac{1}{8}$. Se pide:
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
a) El valor del primer término
b) La suma de los diez primeros términos
c) El producto de los seis primeros términos
SOLUCIÓN:
a) Como $a_5=r\cdot a_4=r^2\cdot a_3$, entonces $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}\cdot r^2$, luego $\dfrac{1}{4}=r^2$ y por tanto $r=\dfrac{1}{2}$. Conocido el valor de la razón de la sucesión geométrica, podemos escribir $$a_3=r\cdot a_2 = r^2\cdot a_1$$ esto es $$a_3=(\dfrac{1}{2})^2 \cdot a_1$$ con lo cual $$a_1=4\cdot a_3=4\cdot \dfrac{1}{2}=2$$
b)
Empleando la fórmula de la suma de los $n$ primeros términos consecutivos $$S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ obtenemos $$\displaystyle S_{10}=2\cdot \dfrac{(\dfrac{1}{2})^{10}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\displaystyle 2\cdot \dfrac{\dfrac{-1023}{1024}}{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1\,023}{256}$$
Empleando la fórmula del producto de los $n$ primeros términos consecutivos $$P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$$ Así tenemos que el producto de los seis primeros términos es $$P_6=\sqrt{(2\cdot a_6)^6}$$ y teniendo en cuenta que $$a_6=a_5\cdot r = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{16}$$ llegamos a que
$P_6=\sqrt{(2\cdot \dfrac{1}{16})^6}=\sqrt{(\dfrac{1}{8})^6}=\dfrac{1}{\sqrt{8^6}}=\dfrac{1}{\sqrt{(8^3)^2}}=\dfrac{1}{8^3}=\dfrac{1}{512}$
$\square$
Escribiendo términos consecutivos
ENUNCIADO. Escríbanse dos términos más de cada una de las siguientes sucesiones:
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
a) 1,4,9,16,...
b) 1,1,2,3,5,8,...
c) 1,8,27,64,125,...
SOLUCIÓN.
a) Ésta es la sucesión de los cuadrados de los números naturales consecutivos: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$, luego los dos términos que siguen son $25=5^2$ y $36=6^2$
b) Ésta es la sucesión llamada de Fibonacci; empezando por los dos primeros términos, cuyos valores son igual a $1$, los que siguien se forman sumando los dos anteriores. Así, pues, los dos términos consecutivos pedidos son $13=5+8$ y $21=13+8$
c) Ésta es la sucesión de los cubos de los números naturales consecutivos: $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3$, $64=4^3$, $125=5^3$, luego los dos términos que siguen son $216=6^3$ y $343=7^3$
$\square$
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