Proporción áurea en la división de un segmento en dos partes

Consideremos un segmento $[P,Q]$ y coloquemos un punto $X$ entre los extremos $P$ y $Q$. De esta manera, el segmento queda dividido en dos partes desiguales, $[P,X]$ y $[X,Y]$, y a cuyas longitudes denominaremos $a$ y $b$, respectivamente, siendo $a \succ b$. Diremos que la colocación de $X$ es tal que la división del segmento en esas dos partes cumple la proporción áurea si se cumple que $$\dfrac{a+b}{\text{máx}(a,b)}=\dfrac{\text{máx}(a,b)}{\text{mín}(a,b)}$$ que, según lo establecido aquí, es $$\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y que podemos escribir de la forma
que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
$\square$