Justificación y aplicaciones del teorema de Tales

Aclaraciones: En el primer vídeo de la lista de reproducción, en el que se justifica el teorema de Tales, quizá no quede claro que las áreas de $\triangle\,ABB'$ y $\triangle\,AA'B'$ son iguales; lo son, puesto que ambos triángulos tienen la misma base $|BB'|$ y la misma altura $\text{distancia}(u,v)$, si bien en el cálculo explícito del área de cada uno de ellos se utilice otra base y otra altura del mismo triángulo.

Por otra parte, también son iguales las áreas de $\triangle\,OAB'$ y $\triangle\,OBA'$. Ésto es así porque el área de $\triangle\,OAB'$ es la de $\triangle\,OBB'$ menos la de $\triangle\,ABB'$,y el área de $\triangle\,OBA'$ es la de $\triangle\,OBB'$ menos la de $\triangle\,A'BB'$; pero, como hemos visto, el área de $\triangle\,ABB'$ es la misma que la de $\triangle\,A'BB'$, luego las áreas de $\triangle\,OAB'$ y $\triangle\,OBA'$ son iguales.