¿Cómo estudiar y resolver ecuaciones lineales en las que aparece el valor absoluto de la incógnita en algunos de los términos algebraicos?

Un ejemplo de lo que quiero decir es la ecuación $$3\,|x|+2=|x|-1$$ Veamos cómo podemos estudiarla correctamente, y, si la tuviese, cómo encontrar la solución:

Podemos darnos cuenta rápidamente de que esta ecuación no tiene solución, pues es equivalente a $$3\,|x|-|x|=-2-1$$ esto es $$2\,|x|=-3$$ y por tanto $$|x|\overset{!}{=}-\dfrac{3}{2} \lt 0$$ pero esto es una contradicción, ya que el valor absoluto de un número no puede ser negativo, por consiguiente hay que concluir que la ecuación propuesta no tiene solución (es incompatible).

-oOo-

Observación importante:

Hay que tener mucho chidado si procedemos de la manera alternativa que voy a comentar, mediante la cual, desde luego, se llega a la misma conclusión, pero eso sí, es necesario comprobar aparentes soluciones, que, en realidad no lo son. Veamos a qué me estoy refiriendo:

Es evidente que $0$ no es solución de la ecuación, pues al sustituir en la ecuación, se tiene que $3\cdot |0|+2=|0|-1$, esto es, $0+2=0-1$, luego $2=-1$, que, es una contradicción. Entonces, el valor de $x$ puede ser positivo o bien negativo:

1. Si $x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3x+2=x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$3x-x=-1-2$$ $$2x=-3$$ $$x=-\dfrac{3}{2}$$ Debemos ahora comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |3/2|+2\overset{?}{=}|3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3x+2=x-1$, no es solución de la ecuación propuesta, $3\,|x|+2=|x|-1$.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3\,(-x)+2=-x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$-3x+x=--1-2$$ $$-2x=-3$$ $$x=\dfrac{3}{2}$$ Como en el caso anterior, debemos comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |-3/2|+2\overset{?}{=}|-3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3\,(-x)+2=-x-1$, no lo es solución de la ecuación propuesta.

Por consiguiente, la ecuación propuesta no tiene solución. $\diamond$

La proporcionalidad directa entre fuerza y superficie (de los émbolos) en los gatos hidráulicos

Un gato hidráulico no es más que una prensa hidráulica empleado en los talleres mecánicos y también como máquina para elevar un vehículo pesado y así poder cambiar una rueda malograda. El mecanismo es muy sencillo: se trata de dos émbolos comunicados por un conducto y en el que se utiliza un fluido para transmitir una fuerza $F_1$ aplicada directamente sobre el émbolo $E_1$, que al transmitirse al segundo émbolo $E_2$ de mayor superficie que el primero, y colocado convenientemente sobre el cuerpo en el que se quiera actuar, se produce sobre éste una fuerza $F_2$ mayor que $F_1$. Esto es así por estar la magnitud fuerza y la magnitud superfice en proporción directa, como vamos a ver en seguida. Suponiendo que los émbolos son de sección circular y que sus radios son $r_1=2\,\text{cm}$ y $r_2=4\,\text{cm}$, ¿Cuál es el peso, $F_2$, que podemos elevar al ejercer una fuerza $F_1=200\,\text{N}$ (newtons) en $E_1$?.

La presión del fluido (fuerza que actúa por unidad de área) es la misma debajo de cada uno de los dos émbolos, luego estas magnitudes (fuerza y área) están en proporción directa: $\dfrac{F_1}{S_1}=\dfrac{F_2}{S_2}$, donde $S_1$ y $S_2$ son las superficies de dichos émbolos, que, al ser de sección circular, se calculan por la conocida fórmula del área de un círculo (el número $\pi$ por el cuadrado del radio). Entonces, con los datos del problema: $\dfrac{200}{\pi\cdot 2^2}=\dfrac{F_2}{\pi\cdot 10^2}$. Nota: no hace falta convertir los centímetros a metros (para trabajar con unidades homogéneas del Sistema Internacional), pues el factor de conversión estará en los dos miembros de la igualdad y por tanto ambos se cancelarán. Despejando, $F_2$ de esta ecuación, se tiene que $F_2=200\cdot \dfrac{10^2}{2^2}$, o lo que es lo mismo, $F_2=200 \cdot \left(\dfrac{10}{2}\right)^2=5\,000\,\text{N}$. $\diamond$