Expresión de una cantidad en notación científica

Se nos pide expresar la cantidad $980,4\times 10^5$ en notación científica (normalizada). ¿Cuál es su orden de magnituda? ¿Cuántas cifras significativas tiene dicha cantidad?

Para que la cantidad esté normalizada (en notación científica) debe escribirse de la forma $m \times 10^e$, donde $m$ (que se denomina mantisa es un número decimal que, en valor absoluto, ha de ser mayor o igual que $1$ y menor que $10$; y, por otra parte, $e$ (que se denomina orden de magnitud) es un número entero (positivo, negativo o bien cero) y nos da una idea del 'tamaño' de la cantidad. Por tanto:
  $980,4\times 10^5=\dfrac{980,4}{100}\times (10^5\cdot 100)=9,804\times (10^5\cdot 10^2)=9,804\times 10{5+2}=9,804\times 10^7$

Escribir así dicha cantidad tiene sus ventajas: (1) es fácil saber cuántas cifras significativas tiene, pues es el número de cifras de la mantisa, $m=9,804$, que, en este caso son $4$ (la cifra de la parte entera más las tres cifras de la parte decimal); (2) por otra parte, el orden de magnitud lo da el valor $e$, que en este caso es $e=7$, el cual suele expresarse de la forma $\sim 10^7$, y esto significa que, además de las $3$ cifras decimales de la mantisa, al multiplicar por un '1' seguido de siete ceros, podríamos también escribir la cantidad pedida de la forma $98\,040\,000$; (3) podemos expresar números muy grandes o muy pequeños, sin que nos arriesguemos a dejarnos algún cero, facilitando así la comprensión de la lectura de las cantidades; y (4), esta forma de escribirlo se brinda a realizar fácilmente cálculos con otras cantidades (también expresadas en el mismo formato) para poder estimar rápidamente el orden de magnitud de lo que resulte de dichas operaciones. $\diamond$

Un problema en el que se aplica la notación científica para hacer los cálculos con comodidad

ENUNCIADO. La luz recorre aproximadamente $300\,000$ kilómetros en $1$ segundo, en el espacio interestelar. La distancia que recorre la luz en $1$ año se toma como una unidad de longitud en astronomía, a la que llamamos año luz. La distancia de nuestro Sol a la estrella Proxima Centauri es de $4,22$ años luz. Exprésese esta distancia en kilómetros, escribiéndola en notación científica. NOTA: Todas los datos del problema, salvo la duración del año terrestre en días ( terrestres), se consideran exactos.

SOLUCIÓN. Para hacer el cálculo que se nos pide, debemos recordar que $1$ año astronómico terrestre es igual, aproximadamente, a $365,25$ días; $1 \,\text{día}=24\,\text{horas}$, y $1\,\text{hora} = 3600\, \text{segundos}$.

Así que $1 \,\text{año astronómico}=365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$, luego $4,22\,\text{años}=4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$

Y como la luz recorre ( en el espacio interestelar ) $300\,000$ kilómetros cada segundo, la longitud de camino que recorre en $4,22$ años es igual a $$300\,000\cdot 4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600 \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$ es decir, $$4,22\,\text{años luz} \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$

OBSERVACIÓN. Aproximamos el resultado final con $5$ cifras significativas, porqué la precisión de éste, como resultado de las operaciones de multiplicación, viene limitada por la precisión del único dato no exacto, que es la duración del año terrestre en días, y éste tiene ese número de cifras significativas.

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