El segundo término de una sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
El segon terme d'una successió aritmètica és igual a $4$ i el sisè terme és igual a $3$. Calculeu el valor de la suma dels vint primers termes d'aquesta successió: $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.

Resolució:
Entre el segon i el sisè terme hi ha tres termes; per tant, el sisè terme $a_6$ representa el cinquè terme de la seqüència $\{a_2, a_3, \ldots, a_6 \}$. Llavors
$a_6=a_2+4\,d$
(on $d$ representa la diferència de la successió aritmètica)
Tenint en compte els valors donats a l'enunciat
$3=4+4\,d$

d'on obtenim

$d=-\dfrac{1}{4}$

Per calcular la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ podem fer ús del resultat

$s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$

Veiem, doncs, que cal calcular els valors del primer i del vintè terme:

El valor del primer és igual a
$a_1=a_2-d=4-(-\dfrac{1}{4})=\ldots=\dfrac{17}{4}$

i, com que $a_n=a_1+(n-1)\,d$, podem calcular el valor de $a_{20}$

$a_{20}=\dfrac{17}{4}+19 \cdot \bigg(-\dfrac{1}{4} \bigg) = \ldots = -\dfrac{1}{2}$

Llavors la suma demanda és igual a
$s_{20}=\dfrac{a_1+a_{20}}{2} \cdot 20 = \ldots = \dfrac{75}{2}$
$\square$

[nota del autor]

Una sucesión aritmética de la cual se conoce la diferencia y el valor del primer término ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada una successió aritmètica de la qual en coneixem la diferència $d$ i el valor del primer terme $a_1$, determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim
    b) l'expressió de la suma dels $n$ primers termes consecutius

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_1$
    $a_{2}=a_{1}+ d$
    $a_{3}=a_{2} +d =a_1 +d+d=a_{1}+2\,d$
    $a_{4}=a_{3}+d=a_2 +2\,d+d=a_1 +3\,d$
i així successivament, d'on es fa ja ben clara la regla de formació
    $a_{n} = a_1+(n-1)\,d \quad \quad (1)$
    $\text{on} \; \; n = 1,2,3,\ldots$

b)
Per sumar els $n$ primers termes consecutius
    $S_{n\,\text{termes consecutius}} = a_1+a_{2}+\ldots+a_{n}$
tindrem en compte la propietat de la suma dels extrems ( el valor de la suma d'un conjunt de termes consecutius d'una successió aritmètica és constant):
    $a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\ldots=\text{constant}$
amb la qual cosa
    $S_{n\,\text{termes consecutius}}=(a_{1}+a_{n})\cdot \dfrac{n}{2} \quad \quad (2)$

$\square$

[nota del autor]