Resolviendo un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas por el método de reducción

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones y comprobar el resultados obtenido: $$\left\{\begin{matrix}2\,x&-&5\,y&=&3 \\ 3\,x&+&2\,y&=&1\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Multiplicando la primera ecuación por $3$ miembro a miembro y la segunda por $2$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}6\,x&-&15\,y&=&9 \\ 6\,x&+&4\,y&=&2\end{matrix}\right.$$ Restando ahora la primera de la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,y=-7$$ de donde $$y=-\dfrac{7}{19}$$

Multiplicando la primera ecuación ( original ) por $2$ (miembro a miembro) y la segunda por $5$ ( miembro a miembro ) se obtiene el siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}4\,x&-&10\,y&=&6 \\ 15\,x&+&10\,y&=&5\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora la primera y la segunda llegamos a la ecuación equivalente ( a cualquiera de las dos anteriores ) $$19\,x=11$$ de donde $$y=\dfrac{11}{19}$$

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Resolviendo problemas mediante el álgebra

Plantear algebraicamente el siguiente problema y resolver el sistema de ecuaciones resultante:

ENUNCIADO.
La suma de dos números naturales desconocidos es $23$. Al dividir el mayor entre el menor, el cociente es $2$, y el resto es, también, $2$. ¿ Cuáles son esos números ?

Ayuda: Debe tenerse en cuenta el teorema de la división con números naturales que dice lo siguiente: El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto menor que el divisor.

SOLUCIÓN. Denotando por $x$ e $y$ ( donde $x \succ y$ ) los números pedidos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&23 \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}x&=&23&-&y \\ x&=&2\,y&+&2 \end{matrix}\right.$$ Igualando los segundos miembros de sendas ecuaciones $$23-y=2\,y+2$$ resulta $$3\,y=21$$ y por tanto $$y=7$$ con lo cual $$x=23-7=16$$
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Resolver el siguiente sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions:
    $\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&3\,y&=&5 \\ -3 \,x &+&5\,y&=&1\\ \end{matrix}\right.$

Solució:
Escollim el mètode de reducció i, per això, efectuem les següents operacions elementals entre equacions ( naturalment, podem escollir també altres combinacions ): multipliquem la primera equació per $3$ i la segona per $2$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), trobem el següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
    $\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ \, &\,&19\,y&=&17\\ \end{matrix}\right.$
Ara, aïllant la icògnita $y$ de la segona equació (reduïda) arribem a
    $y=\dfrac{17}{19}$
Per calcular el valor de $x$ podem substituir el resultat que acabem de trobar ( per a la incògnita $y$) a una de les dues equacions originals, o bé, semblantment al que hem fet, escollir també una combinació vàlida d'operacions elementals entre els dues equacions per tal d'obtenir una equació reduïda que només depengui de la incògnita $x$. Així, si multipliquem la primera equació per $-5$ i la segona per $3$, sumem les equacions que s'obtenen i substituïm la segona equació per aquesta nova equació resultant ( que és compatible amb les altres dues ), arribem al següent sistema d'equacions equivalent a l'original, més senzill:
    $\left\{\begin{matrix}2\,x &+&3\,y&=&5 \\ 19\,x\, &\,&\,&=&22\\ \end{matrix}\right.$
I aïllant la icògnita $x$ de la segona equació (reduïda convenientment)
    $x=\dfrac{22}{19}$
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[nota del autor]