Ejercicios de ecuaciones de primer grado

De vegades, no cal fer servir llapis i paper; ni tan sols, calculadora. Vegem a continuació un conegut problema: 1.  Les edats d'una mare i el seu fill sumen 83 anys. Quan la mare tenia l'edat del fill, les seves edats sumaven 33 anys. Esbrineu l'edat de cadascun. Anomenem m a l'edat actual de la mare, f a l'edat actual del fill. De la primera frase de l'enunciat podem transcriure la següent equació: m+f=83 [1]. Per altra banda, m-f anys enrere, la mare tenia f anys (l'edat del fill) i l'edat del fill era de f-(m-f) anys i, per tant, la suma de les edats del fill i la mare era: f+ (f-(m-f)) = 33, equació que, una vegada simplificada, podem escriure així: 3f - m = 33 [2]. Resolent el sistema d'equacions {[1],[2]} (pel mètode de reducció és molt ràpid) trobem que f = 29 anys (edat actual del fill), i m = 54 anys (edat actual de la mare). 2.  Hem fet un viatge en cotxe. Hem dividit el trajecte en dues parts. Per fer la primera part hem gastat la meitat del combustible amb què havíem començat el viatge. Per fer la segona part hem gastat la meitat del que quedava al dipòsit. En acabar el viatge encara queden 10 L al dipòsit. Quant combustible hi havia al dipòsit en començar el viatge ? Quina distància hem recorregut sabent que, en mitjana, el vehicle consumeix 6,25 L cada 100 km ? Anomenem x a la quantitat de combustible que teníem al començament. Segons el que llegim a l'enunciat podem plantejar la següent equació: x -x/2 – (1/2)(x-x/2) = 10 . Resolent aquesta equació trobem que x = 40 L. D'aquests, n'hem gastat 40 – 10 = 30 L. Per resoldre la 2a part del problema plantejarem una proporció directa: 100 km / 6,25 L = longitud_del_recorregut / 30 L que, de fet, representa una equació de 1r grau amb d com incògnita: 100/6,25 = d/30 Aïllant la incògnita trobem d = 480 km 3.  El denominador d'una fracció és 4 unitats més gran que el numerador. Si afegim 24 unitats al numerador, la fracció que en resulta és igual a la inversa de la fracció original. Quina és aquesta fracció ? Anomenem x/(x+4) a la fracció original; la inversa és (x+4)/x. I, segons la segona frase de l'enunciat, aquesta ha de ser igual a (x+24)/(x+4). És a dir, s'ha de complir que (x+4)/x = (x+24)/(x+4) Equació que és equivalent a (x+4)2 = x(x+24) Desenvolupant el binomi al quadrat del 1r membre i multiplicant els dos factors del 2n membre trobem x2+8x+16=x2+24x Simplificant, els termes de 2n grau s'anul·len i podem escriure 8x + 16 = 24x Per tant, x = 1 (el numerador de la fracció original). Llavors, el denominador haurà de ser igual a 5 (ja que el denominador és quatre unitats més gran que el numerador - primera frase de l'enunciat -). És a dir, la fracció demanada és 1/5

[autoría]