Ejercicios de proporcionalidad ( Artículo escrito en catalán )

1. El preu d'un article ha augmentat d'un $3$% en relació al que costava l'any anterior. Enguany, quan l'hem comprat, ens ha costat $24,35 \, \text{euro}$. Quant ens va costar l'any passat ?.
Anomenem $x$ a la quantitat que vam pagar l'anys passat. Plantejant la proporció corresponent podem escriure
$\dfrac{100}{100+3}=\dfrac{x}{24,35}$
i aïllant $x$
$x=\dfrac{24,35 \cdot 100}{103} \approx 23,64 \, \text{euro}$
$\square$

2. Una conducció d'aigua omple un dipòsit en $2$ h; una segona conducció l'omple en $3$ h . Si omplim el dipòsit amb totes dues conduccions a la vegada, quant de temps es tarda a tenir el dipòsit ple ?
1a conducció: Si omple tot el dipòsit en $3$ h, en $1$ h n'omple $1/3$ part
2a conducció: Si omple tot el dipòsit en $2$ h, en $1$ h n'omple $1/2$ part

Per tant,
En una mateixa hora, totes dues a la vegada, omlen $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ parts del total, és a dir, $\frac{5}{6}$ parts del dipòsit.

Llavors, anomenant $t$ al temps que cal per oplir el dipòsit, en proporció:
$\dfrac{1}{\frac{5}{6}}=\dfrac{t}{\frac{6}{6}}$

D'aquí, aïllant $t$, trobem
$t=\dfrac{6}{5} \; \text{h}$ que és igual a $1$ h i $12$ min

$\square$

3. Quan un determinat dipòsit és buit i tanquem l'aixeta, s'omple en $5$ h. Per altra banda, sabem que, quan és ple, tancant l'aixeta i obrint del desguàs, es buida en $110$ min. Estant el dipòsit buit, obrim l'aixeta per omplir-lo, però ens deixem el desguàs obert. Quant de temps cal esperar per tal que quedi ple ?
Observem que, en una mateixa unitat de temps, quan l'aixeta i el desguàs són oberts a la vegada, surt més volum d'aigua que el que entra; per tant, és impossible que s'ompli. $\square$


4. Sabem que fa 3 anys, el preu d'un determinat article era de 12, 00 €. Cada any, el preu augmenta d'un 1,4%, en relaci ó al preu de l'any anterior. Calculeu el preu d'enguany ?.

Considerant que fem el pagament anual a final d'any, cal calcular la quantitat que correspon al pagament del quart any. Anomenem $x_1$ a la quantitat que es va pagar fa tres anys (12,00 €); $x_2$, a la quantitat que vam pagar el 2n any; $x_3$, a la que es va pagar el tercer any; i $x_4$ a la quantitat que toca pagar enguany. Plantegem les proporcions encadenades:

$\dfrac{100+1,4}{100}=\dfrac{x_1}{12,00}$
d'on
$x_2 = \dfrac{101,4 \cdot 12,00}{100}$
Semblantment,
$x_3 = \dfrac{101,4 \cdot x_2}{100}$
i
$x_4=\dfrac{101,4 \cdot x_3}{100}$
que, donats els resultats anteriors, és igual a
$\big(\dfrac{101,4}{100}\big)^{3} \cdot 12,00$
que, aproximant, queda

$12,51$ €

$\square$


5. Dipositem 100,00 € en una llibreta d'estalvis. Cada any, aquesta quantitat ens d óna un 2% de bene ficis (interessos). Si hem tingut aquesta quantitat
en estalvi durant 5 anys, quina quantitat de diners tindrem a la llibreta al fi nal d'aquest interval de temps ?


Per calcular els interessos $I_1$que la quantitat que hem posat a la llibreta produeix
en un any plantegem la següent proporció

$\dfrac{2}{100}=\dfrac{I_1}{100,00}$

d'on trobem que $I_1$ = 2,00 €

Llavors, si en un any s'obté aquests beneficis, en 5 anys obtindrem
5·2,00 = 10,00 € d'interessos.

Per tant, al cap de cinc anys a la llibreta hi haurà la quantitat de diners que vam posar en estalvi més els interessos que acabem de calcular, és a dir 110,00 €
$\square$


6. Una poblaci o de bacteris s'ha triplicat. Quin tant per cent d'augment es pot dir que s'ha donat ? I quan s'hagi quadruplicat ?


Anomenem $x$ al nombre d'individus de la població inicial, i $t$ al tant per cent d'augment de la població. Tenint en compte que el nombre d'individus de la població final és igual a $3\,x$ i que, per tant, l'augment del nombre d'individus és $3\,x-x$, podem calcular el valor de $t$, plantejant la següent proporció

$\dfrac{\text{t}}{100}=\dfrac{3\,x-x}{x}$

d'on s'obté que

$t=\dfrac{2\,x \cdot 100}{x}$

és a dir

t=200 %

De manera semblant, és fàcil veure, doncs, que quan la població és duplica l'augment correspon a un 100%; per tant, generalitzant aquests resultats, deduïm que quan es quadriplica, serà d'un 300%; quan es quintuplica, d'un 400%, etcètera.

$\square$


7. D'una determinada quantitat de sorra, en traiem el 15%; tot seguit, del que ha quedat, en traiem el 35%. Fet aix o, encara queden 250 kg de sorra. Quina quantitat de sorra hi havia al començament ? Quina quantitat n'hem tret en total ?


Calculem el tant per cent de sorra $t$ que correson a 250 kg (la quantitat que ha quedat en l'últim pas):

En la primera extracció s'ha retirat un 15% del total.

En la segona, un 35% del 85% que ha havia quedat:
$\dfrac{35}{100}\cdot \dfrac{85}{100}=\dfrac{29,75}{100}$
és a dir, un 29,75% del total

Calculeum, ara, el tant per cent que ha quedat, i que correspon a la quantitat de 250 kg:
100% - (15%+29,75%) = 55,25%

Per calcular la quantitat total $x$ (que hi havia al començament) plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{100}{55,25}=\dfrac{x}{250}$

d'on s'obté

$x=\dfrac{250 \cdot 100}{55,25}$

és a dir

$x \approx 452 \; \text{kg}$

Llavors, la quantitat de sorra que s'ha retirat és aproximadament igual (arrodoniment) a
la diferència entre la quantitat total que acabem de calcular i la quantitat de sorra que ha quedat (250 kg); és a dir, $202 \; \text{kg}$, aproximadament (arrodoniment dels decimals).

$\square$


8. Un excursionista recorre la cinquena part d'un trajecte en una primera etapa. Descansa, i a la segona etapa, recorre les dues terceres parts del que
encara li falta per acabar. Torna a descansar i, a la tercera i última etapa,
recorre 20 km. Calculeu la longitud total del recorregut ?


Primer de tot, calcularem la fracció del recorregut que correspon a la tercera etapa.

Si la primera etapa és igual a una cinquena part del total, la segona representa
$\dfrac{2}{3}\cdot (1-\dfrac{1}{5})$
és a dir,

8/15 del total

Per tant, la tercera etapa - de 20 km - representa
$1-\dfrac{8}{15}=\dfrac{7}{15}$
parts del total

Llavors, per calcular la longitud del recorregut total $x$ podem plantejar la següent proporció

$\dfrac{15}{7}=\dfrac{x}{20}$

i aïllant $x$ trobem el seu valor

$x=\dfrac{15 \cdot 20}{7}$

que, aproximat a les unitats, és igual a

43 km

$\square$

[autoría]