Matemáticas de 3.º de ESO. Resolución de los ejercicios del segundo examen del primer trimestre

Ejercicios resuetos del segundo examen del primer trimestre

[nota del autor]

Proporcionalidad compuesta ( problema de muestra )

Enunciado:
Dos pintores, igualmente eficientes y trabajando a la vez, tardan $30 \; \text{min}$ en pintar un muro $6\; \text{m}^2$. ¿ Cuánto tiempo tardarían tres pintores ( igual de hábiles ) en pintar un muro de $25 \; \text{m}^2$ ?

Resolución:
Intervienen en este problema tres magnitudes: a) el tiempo empleado en hacer la tarea; b) el àrea del muro que se quiere pintar; y, c) el número de pintores que realizan la tarea ( sin entorpecerse unos a otros ).

Al intervenir más de dos magnitudes proporcionales, se nos plantea un problema de propocinalidad compuesta entre los siguientes pares de magnitudes: i) el timepo empleado y el n úmero de pintores (que es una relación p. inversa); y, ii) el tiempo empleado y el área a pintar (que és una relació de p. directa).

Resolveremos el problema mediante dos pasos encadenados (dos proporciones enlazadas), que son las siguientes:

  i)     Primero, calculamos el tiempo, $t_1$, que tardarían $3$ pintors (en lugar de $2$ pintores ) en pintar $6\; \text{m}^2$ de muro:

    $\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
y, de aquí, vemos que
    $t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$

  ii)     A continuación, calculamos cuánto tiempo tardarían tres pintores ( en lugar de dos ) en pintar $25 \; \text{m}^2$ ( en lugar de $25 \; \text{m}^2$ )

    $\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$

Finalmente, teniendo en cuenta [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, sustituimos este primer resultado en (2) y encontramos que
    $t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
        $=83,\bar{3} \; \text{min}$
        $\approx 1\; \text{h}\;\;24\;\text{min}$

$\blacksquare$

Observación: Tipeo/esquema de resolución de la proporción compuesta:

Nota:     Una forma de notar el inverso de un número $a$ es $\text{inv}(a)=\dfrac{1}{a}$, que también se puede escribir de la forma $a^{-1}$. Ambas notaciones las hemos utilizado en este problema.

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de operaciones combinadas con fracciones

Enunciado:
Operar:
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot \dfrac{60}{5}$

Solución:
Primero, simplificamos las fracciones reducibles
    $\dfrac{60}{5}=12$
con lo cual la expresión a calcular puede escribirse así
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
A continuación, respetando la prioridad de les operaciones, procedemos a realizar las que quedan dentro del paréntesis, por tanto efectuamos, en primer lugar, la división
    $\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot \text{inv}\big(\dfrac{3}{4}\big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}=\dfrac{1\cdot 4}{2 \cdot 3}=\dfrac{4}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=2 \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Poniendo este resultado en la línea principal del cálculo, podemos escribir
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}\div \dfrac{3}{4}\big)\cdot 12$
        $=\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
A continuación, seguimos haciendo las operaciones del paréntesis, que son sumas y restas, para lo cual reducimos a común denominador ( $ \text{m.c.m}(12,30,3)=60$ ) y llegamos a
      $\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{1}{2}$
        $=\dfrac{5 \cdot (60 \div 12)}{60}-\dfrac{7 \cdot (60 \div 30) }{30}+\dfrac{1 \cdot ( 60 \div 2)}{2}$
        $=\dfrac{25}{60}-\dfrac{14}{60}+\dfrac{40}{60}$
        $=\dfrac{25-14+40}{60}$
        $=\dfrac{51}{60}$
        $=\dfrac{17}{30}$
Y escribiendo ésto en la línea principal del cálculo,
      $\big(\dfrac{5}{12}-\dfrac{7}{30}+\dfrac{2}{3}\big)\cdot 12$
        $=\dfrac{17}{20}\cdot 12$
        $=17\cdot \dfrac{12}{20}$
        $=17\cdot \dfrac{3}{5}$
        $=\dfrac{51}{5}$
$\square$

[nota del autor]

Calcúlense las longitudes los los lados de un triángulo rectángulo tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu les longituds dels costats d'un triangle rectangle, sabent que són tres nombres parells consecutius.

Resolució:
En un triangle rectangle s'ha de complir el teorema de Pitàgores: el quadrat de la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadratas de les longituds del catets.

Si anomenem $n$ a la longitud de la hipotenusa (un nombre parell), designarem les longituds dels dos catets de la forma $n-2$   i   $n-4$, respectivament (tenim en compte tota la informació de l'enunciat: totes tres longituds són nombres positius i parells - nombres naturals, doncs; i, a més, són parells consecutius).

Pel teorema de Pitàgores
$n^2=(n-2)^2+(n-4)^2$
desenvolupant les potències dels binomis
$n^2=n^2-4n+4+n^2-8n+16+(n-4)^2$
agrupant en un mateix membre i simplificant
$n^2-12n+20=0$
equació de 2n grau completa
que, de forma estàndard, s'escriu
$ax^2+bx+c=0$
i la solució de la qual sabem que es troba fent el següent càlcul (demostrat a classe)
$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
com que
$a=1$
$b=-12$
$c=20$
tenim
$x=\dfrac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} 2\\ \\10\\ \end{matrix}\right.$

El primer valor no té sentit per al problema que volem resoldre, perquè representant $n$ la longitud de la hipotenusa, portaria als les següents longituds dels catets (nombres parells precedents): $0$ i $-2$ (longitud negativa !), que, és clar que no té cap sentit.

El segon valor és el bo: si $n=10 \, \text{m}$, llavors les longituds dels dos catets són $8 \, \text{m}$ i $6 \, \text{m}$, respectivament.

$\square$

[nota del autor]