Resolver el siguiente problema de interés compuesto

ENUNCIADO. Dejamos depositados $200,00$ euros, a un interés ( compuesto ) del $3\,\%$ anual, durante $5$ años. ¿ Qué cantidad de dinero tendremos al final de ese tiempo ? ¿ Cuál será el beneficio ?.

SOLUCIÓN.
La fórmula del capital final, a interés compuesto, es $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\cdot (1+i)^t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso $i=3/100=0,03$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Entonces, con los datos del problema $$C_{\text{final}}=200,00\cdot (1+0,03)^5=231,85\; \text{euros}$$
( aproximando el resultado de la operación al céntimo de euro )
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Resolver las ecuaciones de segundo grado

ENUNCIADO. Resolver:
a) $x^2+x-2=0$
b) $x^2-3\,x=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2+x-2=0$
  $1\cdot x^2+1\cdot x+(-2)=0$, luego $a=1$, $b=1$ y $c=-2$ en $ax^2+bx+c=0$. Por tanto, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm \sqrt{9}}{2}=$
    $=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\\text{ó}\\\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\end{matrix}\right.$

b)
$x^2-3\,x=0$
  $x(x-3)=0$, producto ( el del primer miembro ) que sólo es cero en dos casos: si $x=0$; o bien, si $x-3=0$, esto es, si $x=3$. Así, la solución de esta ecuación viene dada por el conjunto de números $\{0\,,\,3\}$
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Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver:
a) $2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
b) $\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
c) $\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$

SOLUCIÓN.

a)
$2\cdot(x-1)=2\cdot(3+x)$
  $2x-2\cdot 1=2\cdot 3+2x$
    $2x-2=6+2x$
      $2x-2x=6+2$
        $0=8$, que es una contradicción, por lo que debemos concluir que esta ecuación es incompatible ( no tiene solución ).

b)
$\dfrac{x+1}{8}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{x}{6}$
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $24$. Multiplicando, pues, por $24$ en ambos miembros, conseguiremos transformar la ecuación en otra equivalente, más sencilla.
  $24 \cdot \dfrac{x+1}{8}=24 \cdot\dfrac{1}{12}+24 \cdot\dfrac{x}{6}$
    $3\,(x+1)=2+4x$
      $3x+3\cdot 1=2+4x$
        $3x+3=2+4x$
          $3-2=4x-3x$
            $1=x$

c)
$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&1 \\
x &+&y&=&2 \\
\end{matrix}\right.$
Sumando, miembro a miembro, y término a término, las dos ecuaciones obtenemos otra ecuación, equivalente a cualquiera de las dos originales: $2x=3$. Despejando $x$, $x=\dfrac{3}{2}$. Y, sustituyendo este valor en una de las dos ecuaciones originales ( por ejemplo, en la primera ) llegamos a $\dfrac{3}{2}-y=1$; de donde, despejando, $y$, $y=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}$
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Calcular el interés ( simple )

ENUNCIADO. Dejamos depositados $400,00$ euros, a un interés ( simple ) del $1\,\%$ anual, durante $6$ años. ¿ Cuál será el beneficio ( intereses ) ?.

SOLUCIÓN. El beneficio o interés, $I$, viene dado por $$I=C_{\text{inicial}}\cdot i \cdot t$$ donde $i$ denota la tasa de interés anual ( en este caso es $i=1/100=0,01$ ) y $t$ el número de años que tenemos depositado el capital inicial. Por tanto, $$I=400,00\cdot 0,01 \cdot 6=24,00\; \text{euros}$$
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Sucesiones aritméticas

ENUNCIADO. Sea la sucesión aritmética $$2,5,8,11,14,\ldots$$ Se pide ( empleando las fórmulas ):
a) el valor del término $a_{20}$
b) el valor de la suma de los $20$ primeros términos

SOLUCIÓN.

a)
Esta sucesión es aritmética, pues cada término se forma, a partir del anterior, sumándole una constante, $d$ ( que en este caso es $3$ ). En una sucesión aritmética, el valor del término n-ésimo viene dado por $a_n=a_1+ (n-1)\cdot d$. Como $a_1=2$ y $n=20$, tenemos $$a_n=2+ (20-1)\cdot 3=59$$

b)
La suma de $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética viene dada por $$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n$$ Entonces, como $n=20$, $a_1=2$ y $a_n=59$, $$S_{20}=\dfrac{(2+59)}{2}\cdot 20=610$$
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