Estadística descriptiva. Histogramas con intervalos de distinta amplitud

ENUNCIADO. En la recogida de datos de un estudio estadístico de una cierta característica ( variable ) $X$, agrupando los valores en intervalos se ha obtenido lo siguiente:

intervalo    frecuencia  
---------    ----------
[10,30)         10
[30,40)         20
[40,45)         15
[45,60)         30
[60,70)          8 

Dibujar el histograma de frecuencias del recuento y determinar el valor aproximado de la moda.

SOLUCIÓN. Como los intervalos en los que se agrupan los valores no son todos de la misma amplitud, debemos calcular la altura de cada rectángulo ( asociado al respectivo intervalo ) teniendo en cuenta que el área de dicho rectángulo ( en unidades del gráfico ) ha de ser proporcional a la frecuencia correspondiente $f_i \propto h_i \cdot a_i $, esto es $$f_i = k\cdot (h_i \cdot a_i) $$ siendo $f_i$, $h_i$ y $a_i$ la frecuencia del recuento; la altura del rectángulo y la anchura del mismo ( expresadas éstas en unidades del gráfico, del eje de abscisas y del eje de ordenadas, respectivamente ), donde $k$ es la constante de proporcionalidad que establezcamos.

Así, podemos elaborar la siguiente tabla ( teniendo en cuenta que $a_i=\dfrac{f_i}{a_i\cdot k}$, tomando -arbitrariamente- $k:=0,5$ ):

intervalo     amplitud     frecuencia            altura 
---------    ----------    ----------       --------------
[10,30)         20            10             10/(20·0,5)=1      
[30,40)         10            20             20/(10·0,5)=4
[40,45)          5            15             15/(5·0,5)=6
[45,60)         15            30             30/(15·0,5)=4
[60,70)         10             8             8/(10·0,5)=1,6

$\square$