Estadística descriptiva. Un ejercicio acerca de la determinación de los cuartiles y de la elaboración del diagrama de caja y bigotes

ENUNCIADO.

Ordenando los valores de menor a mayor,

47 52 52 57 58 58 60    65    66 66 71 71 72 73 96

Así que el segundo cuartil ( o mediana ) es $Q_2=65$. Veamos ahora cuáles son el primer y tercer cuartiles:

47 52 52    57    58 58 60    65    66 66 71    71    72 73 96

Es evidente pues que $Q_1=57$ y $Q_3=71$

Con ello, ya podemos dibujar la caja del diagrama de caja y bigotes. Para determinar la longitud de los bigotes, debemos ver primero si hay algún valor atípico. Recordemos que el criterio que empleamos para considerar como atípico un cierto valor, $X=k$, es el siguiente: si $k \succ Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}$ o bien si $k\prec Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}$ diremos que $X=k$ es atípico, siendo $\text{RIQ}$ el rango intercuartílico, que se define como $\text{RIQ}=|Q_3-Q_1|$. Desde luego, puede haber más de un valor atípico, y cada uno de ellos los señalaremos en el diagrama de caja y bigotes, individualmente, con una cruz o un asterisco en la posición correspondiente. Hecho ésto, ya podremos trazar los bigotes: desde la posición de $Q_3$ al mayor valor no atípico, y, desde $Q_1$ al menor valor no atípico.

Démonos cuenta de que $\text{RIQ}=|71-57|=14$ con lo cual $Q_3+1,5\cdot \text{RIQ}=71+1,5\cdot 14 = 92$; el único valor mayor que $92$ es $96$, así que éste es un valor atípico. Veamos ahora si hay valores atípico menores que $Q_1$; como $Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}=57-1,5\cdot 14 = 36$ y como todos los valores de la distribución son mayores que esa cantidad, concluimos que no hay valores atípicos menores que $Q_1$. Así pues, sólo encontramos un valor atípico, que es $X=96$.

Ahora ya podemos dibujar el diagrama de caja y bigotes ( el aspa señala el valor atípico, $X=96$, que hemos encontrado ):

$\square$