Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con amplitudes desiguales.

Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con distintas amplitudes:
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )

Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:

15 15 13 17 18 19 14 12 11  9
13 15 16 18 20 18 16 15 15 14
17 15 12 13 15 16 15 17 18 15

Agrupar los valores en las siguientes clases ( intervalos ): $[9,13)$, $[13,17)$ y $[17,20]$, y elaborar una tabla de frecuencias absolutas

SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias

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i   |intervalo  | amplitud_i | n_i |  N_i  |
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1   | [9,13)   |  13-9=4    |  4   |  4    |
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2   | [13,17)  |  17-13=4   | 17   | 21    |
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3   | [17,20)] | 20-17=3    |  9   | 30    |
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                            | N=30 |
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A continuación, deberemos dibujar los histogramas, aunque sólo calcularemos lo necesario, aquí, para elaborar el de frecuencias absolutas del recuento ( de manera similar procederíamos para dibujar el histograma de frecuencias acumuladas ). Provistos de una hoja de papel milimitrado ( para mayor comodidad ), calcularemos la altura y la anchura de los tres rectángulos que formaran dicho histograma.
Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$

Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4) =12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$

Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$

Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$


Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$


$\square$