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jueves, 7 de junio de 2018
viernes, 18 de mayo de 2018
Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con amplitudes desiguales.
Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con distintas amplitudes:
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias
Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$
Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4)
=12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$
Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$
Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$
Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$
$\square$
Si decidimos agrupar el conjunto de valores de una variable estadística $X$ en clases o intervalos, debemos decidir cuántas en cuántas clases lo haremos y cuál ha de ser la amplitud de cada una de las mismas, $\ell_i$ ( $i=1,2,\ldots,c$, siendo $c$ dicho número de clases ). A la hora de representar los histogramas, será necesario calcular las alturas de los rectángulos correspondientes ( en el histograma ) de acuerdo a la escala gráfica del diagrama; para ello deberemos tener en cuenta que la frecuencia asociada a cada clase, $n_i$ ha de ser proporcional al área del rectángulo correspondiente ( del histograma ), esto es $n_i \propto \ell_i \cdot h_i$, donde $h_i$ denota dicha altura de $i$-ésimo rectángulo ( del histograma )
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
15 15 13 17 18 19 14 12 11 9 13 15 16 18 20 18 16 15 15 14 17 15 12 13 15 16 15 17 18 15Agrupar los valores en las siguientes clases ( intervalos ): $[9,13)$, $[13,17)$ y $[17,20]$, y elaborar una tabla de frecuencias absolutas
SOLUCIÓN.
Elaboremos, para empezar, una tabla de frecuencias
--------------------------------------------
--------------------------------------------
i |intervalo | amplitud_i | n_i | N_i |
--------------------------------------------
1 | [9,13) | 13-9=4 | 4 | 4 |
--------------------------------------------
2 | [13,17) | 17-13=4 | 17 | 21 |
--------------------------------------------
3 | [17,20)] | 20-17=3 | 9 | 30 |
--------------------------------------------
| N=30 |
-------
A continuación, deberemos dibujar los histogramas, aunque sólo calcularemos lo necesario, aquí, para elaborar el de frecuencias absolutas del recuento ( de manera similar procederíamos para dibujar el histograma de frecuencias acumuladas ). Provistos de una hoja de papel milimitrado ( para mayor comodidad ), calcularemos la altura y la anchura de los tres rectángulos que formaran dicho histograma.Observemos que las amplitudes de los intervalos son $\ell_1=4$, $\ell_2=4$ y $\ell_3=3$, y que las frecuencias correspondientes son $n_1=4$, $n_2=17$ y $n_3=9$
Primer rectángulo:
Estableciendo una escala gráfica cómoda, asignaremos a la longitud ( en milímetros ) de la base de dicho rectángulo el triple de la amplitud del primer intervalo, esto es $$l_1:=3\cdot \ell_1=3\cdot (13-4)
=12 \,\text{mm}$$ También asignaremos un valor ( en milímetros ) un valor conveniente ( por comodidad de representación gráfica ) a la altura de este primer rectángulo, pongamos que $$h_1:=5\,\text{mm}$$
Entonces, como $n_1=4$, y teniendo en cuenta que $n_1 \propto l_1 \cdot h_1$, con lo cual $$n_1=k\,l_1 \cdot h_1$$ siendo $k$ la constante de proporcionalidad ( para todos los rectángulos del histograma ) cuyo valor vamos a calcular a continuación $$k=\dfrac{n_1}{l_1\,h_1}=\dfrac{4}{12\cdot 5}=\dfrac{1}{15}$$ De esta forma $$k=\dfrac{n_1}{l_1\cdot h_1}=\dfrac{n_2}{l_2\cdot h_2}=\dfrac{n_3}{l_3\cdot h_3}$$
Segundo rectángulo:
Como $n_2=17$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo ), $l_2=(17-13)\cdot 3=12\,\text{mm}$, tenemos que $$h_2=\dfrac{n_2}{k\,l_2}=\dfrac{17}{(1/15)\cdot 12}=21,25\,\text{mm}$$
Tercer rectángulo:
Siendo $n_3=9$ y, de acuerdo con la escala longitudinal gráfica elegida ( hemos multiplicado por $3$ la amplitud de cada intervalo, igual que en los dos primeros ), $l_3=(20-17)\cdot 3=9\,\text{mm}$, tenemos que $$h_3=\dfrac{n_3}{k\,l_3}=\dfrac{9}{(1/15)\cdot 9}=15\,\text{mm}$$
$\square$
martes, 8 de mayo de 2018
Estadística descriptiva de una variable. Agrupación de valores en intervalos ( clases ) de igual amplitud
Agrupación de los valores de la variable estadística en intervalos con igual amplitud:
Denotaremos por $\ell$ a la amplitud común a todos los intervalos, por $N$ el número de valores de la variable estadística que hemos medido, y por $n_c$ al número de intervalos ( o clases ). Para establecer los extremos inferior y superior de cada uno de los $n_c$ intervalos, procederemos de la siguiente manera:
1.º) Tomaremos como $n_c$ el número entero más próximo a $|\sqrt{N}|$
2.º) Establecemos la amplitud de los intervalos ( la misma para cada uno ), $\ell$, tomando el número entero que resulta de la aproximación por exceso de $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, donde $\text{rango}=|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|$
3.º) Teniendo en cuenta que, al haber aproximado por exceso en el paso anterior, $n_c \cdot \ell \ge \text{rango}$; con lo cual, en buena lógica dividiremos la diferencia en dos mitades, $\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, y asignaremos al valor inferior del primer intervalo el siguiente valor: $e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, con lo cual $e_{1}^{\text{sup}}:=e_{1}^{\text{inf}}+\ell$, y, así, iremos construyendo los intervalos que siguen: $e_{2}^{\text{inf}}=e_{1}^{\text{sup}}$ y $e_{2}^{\text{sup}}=e_{2}^{\text{inf}}+\ell$, etcétera. Convendremos además que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:
$I_1=[e_{1}^{\text{inf}}\,,\,e_{1}^{\text{sup}})$, $I_2=[e_{2}^{\text{inf}}\,,\,e_{2}^{\text{sup}})$, ..., $I_{n_c}=[e_{n_c}^{\text{inf}}\,,\,e_{n_c}^{\text{sup}})$
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
SOLUCIÓN.
En primer lugar vamos a aplicar el criterio explicado para decidir cuántos intervalos ( de la misma amplitud $\ell$ ), $n_c$, vamos a utilizar. Recordemos que $n_c:=$entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, donde $N$ es el número de valores. Como los valores dados están en disposición rectangular, de $3$ filas por $10$ columnas, $N=3\cdot 10=30$, así pues $n_c:=6$
Ahora vamos a calcular la amplitud de los intervalos ( haremos que sea la misma para todos ). De acuerdo con lo que hemos expuesto arriba, $\ell:=$entero por exceso máx próximo a $\dfrac{|\text{rango}|}{n_c}$. Recordemos que $\text{rango}\overset{\text{def}}{=}|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|=|20-9|=11$; así pues, $\ell:=2$, pues el entero máx próximo a $11/6$, por exceso, es $2$
A continuación, calcularemos el extremo inferior del primer intervalo, que, tal como se ha explicado se calcula así: $$e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{\ell \cdot n_c - \text{rango}}{2}$$ Entonces $$e_{1}^{\text{inf}}:=9-\dfrac{2\cdot 6 -11}{2}=8'5$$
En consecuencia los intervalos que emplearemos en la agrupación -- recordemos que han de ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha -- son los siguientes:
$I_1=[8'5,8'5+2)=[8'5,10'5)$
$I_2=[10'5,10'5+2)=[10'5,12'5)$
$I_3=[12'5,12'5+2)=[12'5,14'5)$
$I_4=[14'5,14'5+2)=[14'5,16'5)$
$I_5=[16'5,16'5+2)=[16'5,18'5)$
$I_6=[18'5,18'5+2)=[18'5,20'5)$
Y, finalmente, ubicamos cada valor en el correspondiente intervalo y encontramos los valores de las frecuencias:
$\square$
Denotaremos por $\ell$ a la amplitud común a todos los intervalos, por $N$ el número de valores de la variable estadística que hemos medido, y por $n_c$ al número de intervalos ( o clases ). Para establecer los extremos inferior y superior de cada uno de los $n_c$ intervalos, procederemos de la siguiente manera:
1.º) Tomaremos como $n_c$ el número entero más próximo a $|\sqrt{N}|$
2.º) Establecemos la amplitud de los intervalos ( la misma para cada uno ), $\ell$, tomando el número entero que resulta de la aproximación por exceso de $\dfrac{\text{rango}}{n_c}$, donde $\text{rango}=|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|$
3.º) Teniendo en cuenta que, al haber aproximado por exceso en el paso anterior, $n_c \cdot \ell \ge \text{rango}$; con lo cual, en buena lógica dividiremos la diferencia en dos mitades, $\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, y asignaremos al valor inferior del primer intervalo el siguiente valor: $e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{n_c\cdot \ell -\text{rango}}{2}$, con lo cual $e_{1}^{\text{sup}}:=e_{1}^{\text{inf}}+\ell$, y, así, iremos construyendo los intervalos que siguen: $e_{2}^{\text{inf}}=e_{1}^{\text{sup}}$ y $e_{2}^{\text{sup}}=e_{2}^{\text{inf}}+\ell$, etcétera. Convendremos además que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:
$I_1=[e_{1}^{\text{inf}}\,,\,e_{1}^{\text{sup}})$, $I_2=[e_{2}^{\text{inf}}\,,\,e_{2}^{\text{sup}})$, ..., $I_{n_c}=[e_{n_c}^{\text{inf}}\,,\,e_{n_c}^{\text{sup}})$
Ejemplo:
ENUNCIADO. Durante el mes de abril se han registrado ( en una estación meteorológica ) las siguientes temperaturas máximas:
15 15 13 17 18 19 14 12 11 9 13 15 16 18 20 18 16 15 15 14 17 15 12 13 15 16 15 17 18 15Agrupar los valores en clases ( intervalos ) y elaborar una tabla de frecuencias absolutas
SOLUCIÓN.
En primer lugar vamos a aplicar el criterio explicado para decidir cuántos intervalos ( de la misma amplitud $\ell$ ), $n_c$, vamos a utilizar. Recordemos que $n_c:=$entero más próximo a $|\sqrt{N}|$, donde $N$ es el número de valores. Como los valores dados están en disposición rectangular, de $3$ filas por $10$ columnas, $N=3\cdot 10=30$, así pues $n_c:=6$
Ahora vamos a calcular la amplitud de los intervalos ( haremos que sea la misma para todos ). De acuerdo con lo que hemos expuesto arriba, $\ell:=$entero por exceso máx próximo a $\dfrac{|\text{rango}|}{n_c}$. Recordemos que $\text{rango}\overset{\text{def}}{=}|x_{\text{máx}}-x_{\text{mín}}|=|20-9|=11$; así pues, $\ell:=2$, pues el entero máx próximo a $11/6$, por exceso, es $2$
A continuación, calcularemos el extremo inferior del primer intervalo, que, tal como se ha explicado se calcula así: $$e_{1}^{\text{inf}}:=x_{\text{mín}}-\dfrac{\ell \cdot n_c - \text{rango}}{2}$$ Entonces $$e_{1}^{\text{inf}}:=9-\dfrac{2\cdot 6 -11}{2}=8'5$$
En consecuencia los intervalos que emplearemos en la agrupación -- recordemos que han de ser cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha -- son los siguientes:
$I_1=[8'5,8'5+2)=[8'5,10'5)$
$I_2=[10'5,10'5+2)=[10'5,12'5)$
$I_3=[12'5,12'5+2)=[12'5,14'5)$
$I_4=[14'5,14'5+2)=[14'5,16'5)$
$I_5=[16'5,16'5+2)=[16'5,18'5)$
$I_6=[18'5,18'5+2)=[18'5,20'5)$
Y, finalmente, ubicamos cada valor en el correspondiente intervalo y encontramos los valores de las frecuencias:
-----------------------
i|intervalo | n_i |N_i|
-----------------------
1|8'5,10'5) | 1 |1 |
-----------------------
2|10'5,12'5)| 3 |4 |
-----------------------
3|12'5,14'5)| 5 |9 |
-----------------------
4|14'5,16'5)| 12 |21 |
-----------------------
5|16'5,18'5)| 7 |28 |
-----------------------
6|18'5,20'5)| 2 |30 |
-----------------------
|N=30 |
-------
$\square$
martes, 6 de septiembre de 2016
Un ejercicio de estadística descriptiva
ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ) y de los otros dos curtiles. Finalmente, dibujar el diagrama de caja y bigotes.
SOLUCIÓN.
Diagrama de tallo y hojas:
Tabla de frecuencias, agrupando los valores en intervalos de amplitud igual $10$
Diagrama de caja y bigotes:
NOTA: Agrupando los valores en intervalos de amplitud $10$ y a partir del histograma de frecuencias se obtiene el valor aproximado de la moda, que es igual a $34$. Mediante el histograma de frecuencias acumuladas se obtienen los valores aproximados de los cuartiles, que son los que figuran en el diagrama de caja y bigotes.
$\square$
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ) y de los otros dos curtiles. Finalmente, dibujar el diagrama de caja y bigotes.
SOLUCIÓN.
Diagrama de tallo y hojas:
Tabla de frecuencias, agrupando los valores en intervalos de amplitud igual $10$
Diagrama de caja y bigotes:
NOTA: Agrupando los valores en intervalos de amplitud $10$ y a partir del histograma de frecuencias se obtiene el valor aproximado de la moda, que es igual a $34$. Mediante el histograma de frecuencias acumuladas se obtienen los valores aproximados de los cuartiles, que son los que figuran en el diagrama de caja y bigotes.
$\square$
martes, 14 de junio de 2016
Estadística descriptiva
ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN.
Con la ayuda de la calculadora científica básica ( tipo Casio fx 82MS), en modo de cálculo estadístico con una variable ( MODE 2 ), entramos los datos de la forma:
1;18 M+
2;22 M+
3;28 M+
4;10 M+
5;5 M+
Hecho esto, ya podemos consultar los parámetros y cantidades que se emplean en el análisis estadístico ( S SUM ) y ( S VAR ). A continuación se muestran los resultados, además de calcular también los cuartiles y la moda con la ayuda de los histogramas de frecuencias absolutas del recuento y de frecuencias absolutas acumuladas.
La moda, los cuartiles, el rango y el rango intercuartílico no los proporciona directamente la calculadora, hay que calcularlos con la ayuda de la tabla de frecuencias. Para ello, es necesario elaborarla, incluida la columna para las frecuencias acumuladas ( omitimos este paso por ser rutinario ). A partir de la misma, encontramos los siguientes resultados:
Moda: $M_o=3$, por ser el valor con frecuencia absoluta máxima.
Segundo cuartil ( o mediana ): La mediana es el valor central de la distribución, habiendo ordenado los datos de menor a mayor; como hay $83$ datos, $Q_2\equiv M_e=x_{42}=3$
Primer cuartil: El primer cuartil es el valor central de la primera mitad de la distribución, luego $Q_1=x_{21}=2$
Tercer cuartil: El tercer cuartil es el valor central de la segunda mitad de la distribución, luego $Q_3=x_{63}=3$
Rango=$|x_{máx}-x_{mín}|=5-1=4$
Rango intercuartílico: $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|=3-2=1$
El resto de parámetros y resultados de la suma de valores, así como la suma de los cuadrados de los mismos, los podemos leer abajo ( estos sí podemos leerlos directamente en la calculadora ):
Observemos que hay $5$ datos atípicos, que son los valores igual a $5$. La razón de ellos es que, como sabemos, hay que considerar que un dato es atípico si es menor que $Q_1-1,5\cdot RIC$ o bien si es mayor que $Q_3+1,5\cdot RIC$ ( que es el caso, pues $RIC=|Q_3-Q_1|=3-2=1$ y por tanto $3+1,5 \cdot 1 = 4,5 \prec 5$. Esto se indica con un asterisco en el diagrama de caja y bigotes, en este caso, a la derecha del bigote derecho.
$\square$
jueves, 9 de junio de 2016
Diagrama de tallo y hojas
ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas, anotando las frecuencias correspondientes, y decir cuáles son los valores de la moda, $M_o$, y el de la mediana $M_e$ ( o segundo cuartíl ).
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro ( que ya está resuelto y comentado ). $\square$
Estadística descriptiva de una variable
ENUNCIADO. Se han realizado las siguientes observaciones de una variable estadística $X$, obteniendo los siguientes datos:
Se pide:\par
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
a) Calcular el valor de la moda, $M_o$, y el de la media $\bar{x}$
b) Calcular el valor de los cuartiles: $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$
c) Calcular el valor del rango y el del rango intercuartílico ( $RIC$ )
d) Calcular el valor de la varianza ( $s^2$ ), el de la desviación estándar ( $s$ ), y el valor del coeficiente de variación ( $CV$ )
e) Dibujar el polígono de frecuencias absolutas del recuento
f) Dibujar el diagrama de frecuencias absolutas acumuladas del recuento
g) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
h) Decir cuáles son los aspectos que más destacan de esta distribución de datos
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a este otro, que ya está resuelto y comentado. Procedemos a exponer los resultados:
Nota: el asterisco indica que los datos cuyo valor es $5$ son atípicos, pues son mayores que $Q_3+1,5\cdot \text{RIC}$, donde $\text{RIC}=|Q_3-Q_1|$ es el rango intercuartílico. El lector puede comprobarlo con los resultados de los parámetros, que se indican más abajo.
Parámetros y sumas:
Diagrama de puntos:
Diagrama de barras:
Línea polígonal de frecuencias absolutas del recuento:
Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas:
Nota: Démonos cuenta de que al tratarse los datos de forma discreta, los diagramas pedidos no son histogramas.
$\square$
martes, 17 de junio de 2014
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes: $$\{3,1,3,2,4,3,4,1,3,2,5,4,5,3,1,3,2,4,3,3,4,2,5,4,2,3,2,3,4,5\}$$ a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? ¿ Y el de la mediana ?. Razónese c) Calcule la media aritmética d) Calcule la varianza y la desviación estándar e) Calcule el coeficiente de variación de Pearson f) ¿ Cuál es el rango ? Razónese
Enunciado:
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes:
$$\{3,1,3,2,4,3,4,1,3,2,5,4,5,3,1,3,2,4,3,3,4,2,5,4,2,3,2,3,4,5\}$$
a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? ¿ Y el de la mediana ?. Razónese
c) Calcule la media aritmética
d) Calcule la varianza y la desviación estándar
e) Calcule el coeficiente de variación de Pearson
f) ¿ Cuál es el rango ? Razónese
Solución:
a)
En la tabla figura también una columna para las frecuencias acumuladas del recuento, $F$, que tienen interés para el cálculo de percentiles, y, en particular, para el cálculo de la mediana
b)
La moda y la mediana son medidas ( parámetros estadísticos ) de situación, al igual que lo es también la media aritmética
c)
La media aritmética es una medida ( parámetro estadístico ) de situación, como también lo son la moda y la mediana
d)
La varianza y la desviación estándar son medidas ( o parámetros estadísticos ) que proporcionan información sobre la dispersión de los valores de $X$
e)
El coeficiente de Variación de Pearson suele utilizarse para comparar varios conjuntos de valores de una misma variable aleatoria y la información que proporciona se refiere a la dispersión en cada uno de dichos conjuntos; en nuestro caso, sólo hay un conjunto de valores:
$\text{CVP} \underset{(def)}{=} \dfrac{s}{\bar{x}}=\dfrac{1,03}{3,1} \approx 0,33 = 33\,\%$
f)
El rango es una medida o parámetro estadístico de dispersión ( como lo son también la varianza y la desviación estándar), y se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo y el valor mínimo de los valores de $X$, luego es igual a $|5-1|=4$
$\square$
Los valores de una variable estadística $X$ son los siguientes:
$$\{3,1,3,2,4,3,4,1,3,2,5,4,5,3,1,3,2,4,3,3,4,2,5,4,2,3,2,3,4,5\}$$
a) Haga el recuento en una tabla de frecuencias y dibuje el diagrama de barras
b) ¿ Cuál es el valor de la moda ? ¿ Y el de la mediana ?. Razónese
c) Calcule la media aritmética
d) Calcule la varianza y la desviación estándar
e) Calcule el coeficiente de variación de Pearson
f) ¿ Cuál es el rango ? Razónese
Solución:
a)
En la tabla figura también una columna para las frecuencias acumuladas del recuento, $F$, que tienen interés para el cálculo de percentiles, y, en particular, para el cálculo de la mediana
b)
La moda y la mediana son medidas ( parámetros estadísticos ) de situación, al igual que lo es también la media aritmética
c)
La media aritmética es una medida ( parámetro estadístico ) de situación, como también lo son la moda y la mediana
d)
La varianza y la desviación estándar son medidas ( o parámetros estadísticos ) que proporcionan información sobre la dispersión de los valores de $X$
e)
El coeficiente de Variación de Pearson suele utilizarse para comparar varios conjuntos de valores de una misma variable aleatoria y la información que proporciona se refiere a la dispersión en cada uno de dichos conjuntos; en nuestro caso, sólo hay un conjunto de valores:
$\text{CVP} \underset{(def)}{=} \dfrac{s}{\bar{x}}=\dfrac{1,03}{3,1} \approx 0,33 = 33\,\%$
f)
El rango es una medida o parámetro estadístico de dispersión ( como lo son también la varianza y la desviación estándar), y se define como la diferencia en valor absoluto entre el valor máximo y el valor mínimo de los valores de $X$, luego es igual a $|5-1|=4$
$\square$
viernes, 6 de junio de 2014
Se han medido ( recogido ) un conjunto de valores de una cierta característica ( variable estadística ) y, después de agruparlos en intervalos, se nos informa de que tres de las medidas están comprendidas entre $0$ y $5$; otras seis se encuentran entre $5$ y $10$; nueve medidas están entre $10$ y $15$; otras cuatro entre $15$ y $20$, y dos entre $20$ y $25$ ...
Enunciado:
Se han medido ( recogido ) un conjunto de valores de una cierta característica ( variable estadística ) y, después de agruparlos en intervalos, se nos informa de que tres de las medidas están comprendidas entre $0$ y $5$; otras seis se encuentran entre $5$ y $10$; nueve medidas están entre $10$ y $15$; otras cuatro entre $15$ y $20$, y dos entre $20$ y $25$.
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( que ya están agrupados en intervalos o clases ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros que se han estudiado en clase.
b) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas del recuento y trazar la línea poligonal de frecuencias
c) Dibujar el histograma de frecuencias acumuladas y trazar la correspondiente línea poligonal de frecuencias según proceda en este tipo de histograma
d) Dar un valor aproximado de la moda a partir del histograma de frecuencias del recuento
e) Dar un valor aproximado de la mediana a partir del histograma de frecuencias acumuladas
f) Calcular la media aritmética ( trabajando con las marcas de clase )
g) Calcular la varianza, la desviación típica o estándar, y el coeficiente de variación de Pearson
h) Calcular el rango
Solución:
$\square$
Se han medido ( recogido ) un conjunto de valores de una cierta característica ( variable estadística ) y, después de agruparlos en intervalos, se nos informa de que tres de las medidas están comprendidas entre $0$ y $5$; otras seis se encuentran entre $5$ y $10$; nueve medidas están entre $10$ y $15$; otras cuatro entre $15$ y $20$, y dos entre $20$ y $25$.
Se pide:
a) Organizar el recuento de estos valores ( que ya están agrupados en intervalos o clases ) en una tabla de frecuencias, preparando, además, las columnas necesarias para facilitar el cálculo de todos los parámetros que se han estudiado en clase.
b) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas del recuento y trazar la línea poligonal de frecuencias
c) Dibujar el histograma de frecuencias acumuladas y trazar la correspondiente línea poligonal de frecuencias según proceda en este tipo de histograma
d) Dar un valor aproximado de la moda a partir del histograma de frecuencias del recuento
e) Dar un valor aproximado de la mediana a partir del histograma de frecuencias acumuladas
f) Calcular la media aritmética ( trabajando con las marcas de clase )
g) Calcular la varianza, la desviación típica o estándar, y el coeficiente de variación de Pearson
h) Calcular el rango
Solución:
$\square$
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