ENUNCIADO. Una cantidad aumenta un 25%, ¿ En qué porcentaje debe aumentar la cantidad que resulta para que se doble la cantidad inicial ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad inicial pedida y por $t$ el porcentaje pedido. El primer aumento porcentual nos lleva a la siguiente cantidad $$\dfrac{100+25}{100}\,x$$, y, al calcular el segundo aumento, para que la cantidad final sea el doble la cantidad inicial, deberemos imponer la siguiente condición $$2x = \dfrac{100+t}{100} \cdot \left( \dfrac{100+25}{100}\,x \right)$$
Démons cuenta de que $x$ se cancela, con lo que podemos escribir $$2=\dfrac{100+t}{100}\cdot \dfrac{100+25}{100}$$ así que, despejando $t$, llegamos a $$t=\dfrac{20\,000}{125}-100=60\,\%$$
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Un blog con cuestiones, ejercicios, problemas, aplicaciones y comentarios relacionados con los contenidos de Matemáticas del tercer curso de ESO
viernes, 18 de enero de 2019
Disminuciones porcentuales sucesivas de una cierta cantidad
ENUNCIADO. El precio de un coche disminuye un 12% cada seis meses. Si en la actualidad vale 6000 euros, ¿ cuánto costaba hace 1 año ?
SOLUCIÓN. Si el valor del coche en la actualidad es de $6000$ euros, denataremos por $x$ lo que costaba hace 6 meses, por tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{6000}{x}$$ de donde se deduce que $$x=\dfrac{6000 \cdot 100}{88}$$ esto es ( y redondeando al céntimo de euro ) $$x=6818,18\,\text{euros}$$ Por consiguiente, otros seis meses atrás costaba
$$x=\dfrac{6818,18 \cdot 100}{88} = 7747,93\,\text{euros}$$
SOLUCIÓN. Si el valor del coche en la actualidad es de $6000$ euros, denataremos por $x$ lo que costaba hace 6 meses, por tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{6000}{x}$$ de donde se deduce que $$x=\dfrac{6000 \cdot 100}{88}$$ esto es ( y redondeando al céntimo de euro ) $$x=6818,18\,\text{euros}$$ Por consiguiente, otros seis meses atrás costaba
$$x=\dfrac{6818,18 \cdot 100}{88} = 7747,93\,\text{euros}$$
Etiquetas:
disminuciones porcentuales sucesivas,
porcentajes
miércoles, 9 de enero de 2019
Proporción áurea en la división de un segmento en dos partes
Consideremos un segmento $[P,Q]$ y coloquemos un punto $X$ entre los extremos $P$ y $Q$. De esta manera, el segmento queda dividido en dos partes desiguales, $[P,X]$ y $[X,Y]$, y a cuyas longitudes denominaremos $a$ y $b$, respectivamente, siendo $a \succ b$. Diremos que la colocación de $X$ es tal que la división del segmento en esas dos partes cumple la proporción áurea si se cumple que $$\dfrac{a+b}{\text{máx}(a,b)}=\dfrac{\text{máx}(a,b)}{\text{mín}(a,b)}$$ que, según lo establecido aquí, es $$\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y que podemos escribir de la forma
que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
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que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
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