ENUNCIADO. Una cantidad aumenta un 25%, ¿ En qué porcentaje debe aumentar la cantidad que resulta para que se doble la cantidad inicial ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad inicial pedida y por $t$ el porcentaje pedido. El primer aumento porcentual nos lleva a la siguiente cantidad $$\dfrac{100+25}{100}\,x$$, y, al calcular el segundo aumento, para que la cantidad final sea el doble la cantidad inicial, deberemos imponer la siguiente condición $$2x = \dfrac{100+t}{100} \cdot \left( \dfrac{100+25}{100}\,x \right)$$
Démons cuenta de que $x$ se cancela, con lo que podemos escribir $$2=\dfrac{100+t}{100}\cdot \dfrac{100+25}{100}$$ así que, despejando $t$, llegamos a $$t=\dfrac{20\,000}{125}-100=60\,\%$$
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viernes, 18 de enero de 2019
Disminuciones porcentuales sucesivas de una cierta cantidad
ENUNCIADO. El precio de un coche disminuye un 12% cada seis meses. Si en la actualidad vale 6000 euros, ¿ cuánto costaba hace 1 año ?
SOLUCIÓN. Si el valor del coche en la actualidad es de $6000$ euros, denataremos por $x$ lo que costaba hace 6 meses, por tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{6000}{x}$$ de donde se deduce que $$x=\dfrac{6000 \cdot 100}{88}$$ esto es ( y redondeando al céntimo de euro ) $$x=6818,18\,\text{euros}$$ Por consiguiente, otros seis meses atrás costaba
$$x=\dfrac{6818,18 \cdot 100}{88} = 7747,93\,\text{euros}$$
SOLUCIÓN. Si el valor del coche en la actualidad es de $6000$ euros, denataremos por $x$ lo que costaba hace 6 meses, por tanto podemos plantear la siguiente proporción: $$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{6000}{x}$$ de donde se deduce que $$x=\dfrac{6000 \cdot 100}{88}$$ esto es ( y redondeando al céntimo de euro ) $$x=6818,18\,\text{euros}$$ Por consiguiente, otros seis meses atrás costaba
$$x=\dfrac{6818,18 \cdot 100}{88} = 7747,93\,\text{euros}$$
miércoles, 9 de enero de 2019
Proporción áurea en la división de un segmento en dos partes
Consideremos un segmento $[P,Q]$ y coloquemos un punto $X$ entre los extremos $P$ y $Q$. De esta manera, el segmento queda dividido en dos partes desiguales, $[P,X]$ y $[X,Y]$, y a cuyas longitudes denominaremos $a$ y $b$, respectivamente, siendo $a \succ b$. Diremos que la colocación de $X$ es tal que la división del segmento en esas dos partes cumple la proporción áurea si se cumple que $$\dfrac{a+b}{\text{máx}(a,b)}=\dfrac{\text{máx}(a,b)}{\text{mín}(a,b)}$$ que, según lo establecido aquí, es $$\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y que podemos escribir de la forma
que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
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que puede escribirse de la forma $$1+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{b}$$ y denominando razón áurea a $\dfrac{a}{b}$, que denotaremos por $\Phi$. Así, llegamos a $$1+\dfrac{1}{\Phi}=\Phi$$ Veamos ahora cuál es el valor de $\Phi$; para ello, basta con resolver la ecuación:
$$\Phi^{2}-\Phi-1=0$$
obteniendo los siguientes resultados $$\Phi=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\succ 0\\ \\ \\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\prec 0\end{matrix}\right.$$
Es evidente que el valor de la razón áurea es el primero, pues esperamos que éste sea positivo, dada su definición; así pues, $$\Phi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$$
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