Ejercicios resueltos del examen de los temas 3 y 4 ( sucesiones y proporcionalidad )

Transimisión del movimiento de giro entre dos ruendas dentadas

ENUNCIADO. Se consideran dos ruedas dentadas, A y B, que están engranadas. La rueda A tiene 40 dientes y da 12 vueltas cada 5/2 minutos. ¿Cuántas vueltas da la rueda B en 7 minutos, teniendo ésta 60 dientes?

SOLUCIÓN.
I)
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de vueltas, tiemplo empleado ( en minutos ), número de dientes

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   | número de vueltas | tiempo empleado ( min ) | número de dientes | 
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A  |         12        |           5/2           |         40        |
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B  |         n         |            7            |         60        |
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La relación entre el número de dientes y el número de vueltas es inversa ( cuántos más dientes, menos vueltas da ) y la relación entre el tiempo empleado y el número de vueltas es directa ( cuánto más tiempo esté girando más vueltas da ), entonces:
$\dfrac{n}{12}=\dfrac{7}{5/2}\cdot \dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow n=\dfrac{12 \cdot 2\cdot 7 \cdot 40}{5 \cdot 60}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )

-oOo-II)
Otra manera de plantear el problema consiste en establecer una proporción simple entre el número de dientes y la velocidad de giro ( vueltas/minuto ), la cual es inversa, pues a mayor número de dientes, menos velocidad de giro. La velocidad de giro de la rueda A es $\dfrac{12}{5/2}$ vueltas/minuto, y, la de B, $\dfrac{n}{7}$ vueltas/minuto. Así:

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   | número de dientes | velocidad de giro ( vueltas/min)|  
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A  |         40        |           12/(5/2)              |
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B  |         60         |            n/7                 |
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Así, al ser dicha relación inversa, escribiremos:
$\dfrac{n/7}{12/(5/2)}=\dfrac{1/60}{1/40} \Rightarrow \dfrac{5n}{12\cdot 2 \cdot 7}=\dfrac{40}{60} \Rightarrow n=\dfrac{2\cdot 12\cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\dfrac{112}{5}=22+\dfrac{1}{5}$ vueltas ( 22 vueltas completas y 1/5 de vuelta )

-oOo-
NOTA: La razón entre la velocidad de giro de la rueda a la que se transmite el movimiento y la velocidad de giro de la rueda motriz, $\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}$, se denomina relación de transmisión. Y teniendo en cuenta que, por la proporción inversa que liga la magnitud velocidad de giro con la magnitud número de dientes, podemos escribir: $$\text{relación de transmisión}=\dfrac{\omega_{\text{transmitida}}}{\omega_{\text{motriz}}}=\dfrac{z_{\text{motriz}}}{z_\text{trnsmitida}}$$, que, en el problema que nos ocupa, tiene el siguiente valor:
relación de transmisión=$\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$, lo cual puede indicarse también de la forma: $$\text{relación de transmisión}=2:3$$ lo cual quiere decir que por cada $3$ vueltas que da la rueda motriz, la rueda transmitida da $2$ vueltas.
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Sueldo bruto y sueldo neto

ENUNCIADO. Calcúlese el valor del sueldo bruto de una trabajadora sabiendo que tras retenerle el 7% en concepto de IRPF ( Impuesto sobre la Renta para las Personas Físicas ) percibe una cantidad neta de $1\,300$ euros.

SOLUCIÓN. Denotaremos por $x$ el sueldo neto y teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre el sueldo bruto y el sueldo neto

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cantidad neta | cantidad bruta 
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1\,300        | x 
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100-7=93      | 100 
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Entonces,
$$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1\,300}{97}\Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1\,300}{93}\approx 1\,397,85\,\text{euros}$$
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Otro ejercicio sobre el uso de factores de conversión

Un ejercicio sobre factores de conversión. ¿ A cuántos años luz equivale 1 pársec ?

Cálculos con datos afectados de error. Caso de una multiplicación. Intervalo de error del resultado.

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Acerca de la tasa de variación y del índice de variación

Bien es sabido que la tasa de variación de una magnitud que cambia su valor de $x_i$ a $x_f$, en tanto por unidad, se define como $$\text{TV}=\dfrac{|x_f-x_i|}{|x_i|}$$ que también puede expresarse en tanto por ciento, multiplicándolo por cien: $$\text{TV}=\dfrac{|x_f-x_i|}{|x_i|}\cdot 100\,\%$$

Dicho ésto, recordemos que el llamado índice de variación se define de la siguiente manera: $$\text{IV}=\dfrac{|x_f|}{|x_i|}\cdot 100$$ Así, vemos que la relación que liga la tasa de variación con el índice de variación es $$\text{IV}=100\pm\,\text{TV}$$
donde, en el segundo miembro, sumaremos si la variación corresponde a un incremento, y restaremos si ésta corresponde a un decremento.

EJEMPLO. El coste actual de un servicio de transporte ha aumentado un $1,5\,\%$ en relación al año anterior. Se pide:
a) El valor del índice de variación
b) Si el coste actual es de $1,25$ euros, ¿ cuál fue el coste del servicio en el año anterior al actual ?

SOLUCIÓN.
Por lo dicho anteriormente, $0,015=\dfrac{1,25-x_i}{x_i} \Rightarrow 0,015\,x_i=1,25-x_i \Rightarrow 1,015\,x_i=$
  $=1,25 \Rightarrow x_i=\dfrac{1,25}{1,015}\approx 1,23$ euros ( aproximando al céntimo )
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