Media proporcional

ENUNCIADO. Calcúlese la media proporcional de $8$ y $2$

SOLUCIÓN. $$\dfrac{x}{8}=\dfrac{2}{x} \Rightarrow x^2=2\cdot 8 \Rightarrow x = |\sqrt{16}|=4$$
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Aumentos y descuentos en el precio de un artículo

ENUNCIADO. Un vendedor de electrodomésticos aumenta el precio de un frigorífico, que es de 200 euros, en un 20%, la semana anterior a la semana de rebajas, en la que hará un descuento de un 20% sobre el precio de todos los productos. ¿ Cuánto costará dicha nevera en la semana de rebajas ?

SOLUCIÓN.
Al aumentar un 20% el precio de venta del frigorífico, éste costará $200\cdot \dfrac{100+20}{100}$ -- multiplicando el precio nominal por el índice de variación que corresponde al aumento -- justo antes de que empiecen las rebajas. Y, durante las rebajas, al aplicar el descuento del 20%, costará $\left(200\cdot \dfrac{100+20}{100}\right) \cdot \dfrac{100-20}{100}$, esto es, $192$ euros, donde se ha multiplicado la cantidad calculada al hacer el descuento por el índice de variación (correspondiente al descuento).

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Nota. Como se puede ver con toda claridad, es un error el pensar que pueden restarse los porcentajes de aumento y descuento, y plantear la situación como si no se hiciese ni el uno ni el otro. Al aplicar pues varios descuentos/recargos hay que hacerlo de manera encadenada, multiplicando la cantidad nominal por todos y cada uno de los índices de variación.
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Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?

ENUNCIADO. Diez máquinas produces diez piezas en diez minutos. ¿ En cuánto tiempo produce una pieza una sóla máquina ?


SOLUCIÓN.
Planteemos el problema medianate una proporción compuesta entre las magnitudes: número de piezas producidadas, tiemplo empleado ( en minutos ), y número de máquinas

+ ================================================================+
   | tiempo ( min )    | número de máquinas      | número de piezas  | 
   + ================================================================+
   |         10        |           10            |         10       |
   +-----------------------------------------------------------------+
   |         t         |            1            |          1        |
   + ================================================================+

La relación entre el número de máquinas y el tiempo empleado es inversa ( cuántos más máquinas, menos tiempo se tarda en producir un cierto número de piezas ) y la relación entre el número de piezas fabricado y el tiempo empleado es directa ( a más piezas fabricadas más tiempo se necesitará para fabricarlas ), entonces:
$$\dfrac{t}{10}=\dfrac{1/1}{1/10}\cdot \dfrac{1}{10} \Rightarrow t=10\cdot \dfrac{10}{10}\,\text{minutos}=10\,\text{minutos}$$
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