e. 101, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 102, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 103, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 104, página 22, Unidad Didáctica 1
SOLUCIÓN.
lunes, 28 de septiembre de 2020
Grupo B - Tarea de progresión número 2 de la semana del 5 al 11 de octubre
Esta tarea incluye los siguientes ejercicio del libro base:
e. 101, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 102, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 103, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 104, página 22, Unidad Didáctica 1
SOLUCIÓN.
e. 101, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 102, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 103, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 104, página 22, Unidad Didáctica 1
SOLUCIÓN.
Grupo B - Tarea de progresión número 1 de la semana del 5 al 11 de octubre
Esta tarea incluye los siguientes ejercicio del libro base:
e. 97, página 21, Unidad Didáctica 1
e. 98, página 21, Unidad Didáctica 1
e. 99, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 100, página 22, Unidad Didáctica 1
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 97
La longitud del lado de las baldosas $\ell$ tiene que ser múltiplo común de las longitudes de los lados del piso de la sala, y, además, deberá ser el mayor de ellos; esto es, $\ell=\text{m.c.d}(\{300,90\})=30$ cm. Por otra parte, el número de baldosas necesarias es igual a $\dfrac{300}{30}\cdot \dfrac{90}{30}=30$ baldosas. $\square$
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 98
La capacidad de los envases $C$ ha de ser un divisor común del contenido de los tres depósitos, y, además, ha de ser el mayor posible, luego $C=\text{m.c.d}(\{680,600,728\})=8$ litros. Por consiguiente, el número de envases necesarios es $\dfrac{680}{8}+\dfrac{600}{8}+\dfrac{728}{8}=251$ envases. $\square$
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 99
Imaginemos una pista de dos carriles, en la que en uno de ellos están las vallas y en el otro están las rampas. Suponemos que en la línea de salida coincide una rampa con una valla. Entonces la longitud de la pista ha de ser un múltiplo común de las distancia entre valla y valla, y de la distancia entre rampa y rampa, y, además, tendrá que ser el menor posible; por tanto la longitud de la pista ha de ser igual a $\text{m.c.m}(\{40,70\})=280$ metros. $\square$
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 100
El tiempo $\tau$ que transcurre entre dos coincidencias ha de ser un múltiplo común de los períodos de sendos cometas, y, además si estamos interesados en la próxima coincidencia habrá de ser el menor posible; así pues, $\tau=\text{m.c.m}(\{90,50\})=450$ años, con lo cual la siguiente coincidencia en el avistamiento de los cometas se producirá en el año $2010+\tau=2010+450 = 2460$. $\square$
e. 97, página 21, Unidad Didáctica 1
e. 98, página 21, Unidad Didáctica 1
e. 99, página 22, Unidad Didáctica 1
e. 100, página 22, Unidad Didáctica 1
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 97
La longitud del lado de las baldosas $\ell$ tiene que ser múltiplo común de las longitudes de los lados del piso de la sala, y, además, deberá ser el mayor de ellos; esto es, $\ell=\text{m.c.d}(\{300,90\})=30$ cm. Por otra parte, el número de baldosas necesarias es igual a $\dfrac{300}{30}\cdot \dfrac{90}{30}=30$ baldosas. $\square$
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 98
La capacidad de los envases $C$ ha de ser un divisor común del contenido de los tres depósitos, y, además, ha de ser el mayor posible, luego $C=\text{m.c.d}(\{680,600,728\})=8$ litros. Por consiguiente, el número de envases necesarios es $\dfrac{680}{8}+\dfrac{600}{8}+\dfrac{728}{8}=251$ envases. $\square$
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 99
Imaginemos una pista de dos carriles, en la que en uno de ellos están las vallas y en el otro están las rampas. Suponemos que en la línea de salida coincide una rampa con una valla. Entonces la longitud de la pista ha de ser un múltiplo común de las distancia entre valla y valla, y de la distancia entre rampa y rampa, y, además, tendrá que ser el menor posible; por tanto la longitud de la pista ha de ser igual a $\text{m.c.m}(\{40,70\})=280$ metros. $\square$
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 100
El tiempo $\tau$ que transcurre entre dos coincidencias ha de ser un múltiplo común de los períodos de sendos cometas, y, además si estamos interesados en la próxima coincidencia habrá de ser el menor posible; así pues, $\tau=\text{m.c.m}(\{90,50\})=450$ años, con lo cual la siguiente coincidencia en el avistamiento de los cometas se producirá en el año $2010+\tau=2010+450 = 2460$. $\square$
Grupo B - Tarea número 2 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre
Esta tarea incluye los siguientes ejercicio del libro base:
e. 16, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 17, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 18, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 19, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 20, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 21, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 22, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 23, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 16, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 17, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 18, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 19, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 20, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 21, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 22, página 13, Unidad Didáctica 1
e. 23, página 13, Unidad Didáctica 1
Grupo B - Tarea número 1 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre
Esta tarea incluye los siguientes ejercicio del libro base:
e. 1, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 2, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 3, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 4, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 5, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 6, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 7, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 8, página 9, Unidad Didáctica 1
SOLUCIONES - lista de reproducción de vídeos
e. 1, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 2, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 3, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 4, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 5, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 6, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 7, página 9, Unidad Didáctica 1
e. 8, página 9, Unidad Didáctica 1
SOLUCIONES - lista de reproducción de vídeos
Grupo A - Tarea de progresión número 2 de la semana del 5 al 11 de octubre
Esta tarea incluye los siguientes ejercicio del libro base:
e. 73, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 74, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 75, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 76, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 77, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 78, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 79, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 82, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 73, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 74, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 75, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 76, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 77, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 78, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 79, página 17, Unidad Didáctica 1
e. 82, página 17, Unidad Didáctica 1
Grupo A - Tarea número 2 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre
Esta tarea incluye los siguientes ejercicio del libro base:
e. 48, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 49, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 50, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 56, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 48, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 49, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 50, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 56, página 15, Unidad Didáctica 1
Grupo A - Tarea número 1 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre
Esta tarea incluye los siguientes ejercicios del libro base:
e. 40, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 41, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 44, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 45, página 15, Unidad Didáctica 1
SOLUCIONES.
e. 40, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 41, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 44, página 15, Unidad Didáctica 1
e. 45, página 15, Unidad Didáctica 1
SOLUCIONES.
miércoles, 17 de junio de 2020
domingo, 24 de mayo de 2020
Ejercicio 9 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - sistemas de ecuaciones
ENUNCIADO. Ejercicio 90 de la página 138 del libro base ( Unidad Didáctica 7 ) - ligeramente modificado -
En una fábrica se producen cuadros de bicicletas de tipo A, que llevan 1 kilogramo de acero y 3 kilogramos de aluminio, y otros de tipo B, que llevan 2 kilogramos de acero y 2 kilogramos de alumninio. Si la empresa tiene 240 kilogramos de acero y 360 kilogramos de aluminio, ¿ cuántas bicicletas puede producir de cada modelo ?.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $a$ el número de bicicletas de tipos A, y por $b$ el número de bicicletas de tipo B. Entonces, según la información del enunciado podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}a+2b=240 \\ 3a+2b=360\end{matrix}\right.$$ Restando la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, llegamos a $2a=120 \Rightarrow a=60$ bicicletas de tipo A. Y sustituyendo este resultado en la primera ecuación, encontramos $60+2b=240 \Rightarrow b=90$ bicicletas de tipo B. $\square$
En una fábrica se producen cuadros de bicicletas de tipo A, que llevan 1 kilogramo de acero y 3 kilogramos de aluminio, y otros de tipo B, que llevan 2 kilogramos de acero y 2 kilogramos de alumninio. Si la empresa tiene 240 kilogramos de acero y 360 kilogramos de aluminio, ¿ cuántas bicicletas puede producir de cada modelo ?.
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $a$ el número de bicicletas de tipos A, y por $b$ el número de bicicletas de tipo B. Entonces, según la información del enunciado podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}a+2b=240 \\ 3a+2b=360\end{matrix}\right.$$ Restando la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, llegamos a $2a=120 \Rightarrow a=60$ bicicletas de tipo A. Y sustituyendo este resultado en la primera ecuación, encontramos $60+2b=240 \Rightarrow b=90$ bicicletas de tipo B. $\square$
Ejercicio 8 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Proporcionalidad
ENUNCIADO. Ejercicio 223 de la página 119 del libro base ( Unidad Didáctica 6 ) - ligeramente modificado -
¿ Cuál es la medida del ángulo que forman las agujas del reloj ( minutera y horaria ) a las 15:15 ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. A las 15:15 la aguja minutera se situa exactamente en la posición de las '3' y la aguja horaria entre las '3' y las '4'. Sabemos que la aguja horaria avanza 30º cada 60 minutos, luego en 15 minutos ha avanzado $\dfrac{15}{60}\cdot 30º = 7,5º$, por lo que esta es la medida del ángulo que forman las dos agujas ( horaria y minutera ) a la hora indicada. $\square$
¿ Cuál es la medida del ángulo que forman las agujas del reloj ( minutera y horaria ) a las 15:15 ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. A las 15:15 la aguja minutera se situa exactamente en la posición de las '3' y la aguja horaria entre las '3' y las '4'. Sabemos que la aguja horaria avanza 30º cada 60 minutos, luego en 15 minutos ha avanzado $\dfrac{15}{60}\cdot 30º = 7,5º$, por lo que esta es la medida del ángulo que forman las dos agujas ( horaria y minutera ) a la hora indicada. $\square$
Ejercicio 7 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Ecuaciones. Cinemáticas
ENUNCIADO. Ejercicio 225 de la página 119 del libro base ( Unidad Didáctica 6 ) - ligeramente modificado -
Dos ciudades A y B están separadas una distancia de 300 kilómetros. A las 10:00 un camión sale de A hacia B con una velocidad de 80 kilómetros por hora. Dos horas más tarde, un coche sale desde B hacia A con una velocidad de 120 kilómetros por hora. ¿ A qué hora se encontrarán ? ¿ A qué distancia de A ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Designemos por $x$ la distancia ( en kilómetros ) de A al punto de encuentro, y por $t$ el tiempo ( en horas ) que tarda el camión ( que sale de A ) a llegar a dicho punto de encuentro. Como ambos móviles se desplazan a velocidad constante, la longitud de camino recorrido por cada uno de ellos es proporcional al tiempo empleado en hacerlo; así, podemos plantear la siguiente ecuación cinemática: $$80\,t=300-120\,(t-2)$$ resolviendo esta sencilla ecuación polinómmica de primer grado en $t$ encontramos $$t=2,7\, \text{h} = 2\,\text{h}\,\text{y}\,42\,\text{min}$$ con lo cual se encontrarán a las $$10:00+2:42 = 12:42$$ y a una distancia de A igual a $$80\cdot 2,7 = 216\,\text{km}$$
$\square$
Dos ciudades A y B están separadas una distancia de 300 kilómetros. A las 10:00 un camión sale de A hacia B con una velocidad de 80 kilómetros por hora. Dos horas más tarde, un coche sale desde B hacia A con una velocidad de 120 kilómetros por hora. ¿ A qué hora se encontrarán ? ¿ A qué distancia de A ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Designemos por $x$ la distancia ( en kilómetros ) de A al punto de encuentro, y por $t$ el tiempo ( en horas ) que tarda el camión ( que sale de A ) a llegar a dicho punto de encuentro. Como ambos móviles se desplazan a velocidad constante, la longitud de camino recorrido por cada uno de ellos es proporcional al tiempo empleado en hacerlo; así, podemos plantear la siguiente ecuación cinemática: $$80\,t=300-120\,(t-2)$$ resolviendo esta sencilla ecuación polinómmica de primer grado en $t$ encontramos $$t=2,7\, \text{h} = 2\,\text{h}\,\text{y}\,42\,\text{min}$$ con lo cual se encontrarán a las $$10:00+2:42 = 12:42$$ y a una distancia de A igual a $$80\cdot 2,7 = 216\,\text{km}$$
$\square$
sábado, 23 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Álgebra
ENUNCIADO. Ejercicio 85 de la página 100 del libro base ( Unidad Didáctica 5 )
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x)=x^4+8x^3+k\,x^2-8x-15$ sea divisible por $x+5$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Según el teorema del Resto, al dividir un polinomio $P(x)$ entre el $x-a$, el resto que se obtiene es igual a $P(a)$. Entonces, si el polinomio dado es múltiplo de $x-(-5))$, el resto de la división $P(x) \div (x-(-5))$ ha de ser cero, luego $P(-5)$ ha de ser igual a $0$. Así pues,
$P(-5)=(-5)^4+8\cdot (-5)^3+k\,(-5)^2-8\cdot(-5)-15=0 \Rightarrow $
$ \Rightarrow 625-1000+25\,k+40-15=0 \Rightarrow k=14$
$\square$
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x)=x^4+8x^3+k\,x^2-8x-15$ sea divisible por $x+5$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Según el teorema del Resto, al dividir un polinomio $P(x)$ entre el $x-a$, el resto que se obtiene es igual a $P(a)$. Entonces, si el polinomio dado es múltiplo de $x-(-5))$, el resto de la división $P(x) \div (x-(-5))$ ha de ser cero, luego $P(-5)$ ha de ser igual a $0$. Así pues,
$P(-5)=(-5)^4+8\cdot (-5)^3+k\,(-5)^2-8\cdot(-5)-15=0 \Rightarrow $
$ \Rightarrow 625-1000+25\,k+40-15=0 \Rightarrow k=14$
$\square$
Ejercicio 5 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Proporcionalidad
ENUNCIADO. Ejercicio 76 de la página 78 del libro base ( Unidad Didáctica 4 )
Para hacer 100 kilogramos de masa de pan se necesitan 1/2 kilogramo de levadura, 59,5 kilogramos de harina y 40 kilogramos de agua. ¿ Cuántos kilogramos de harina se necesitarán para hacer 350 kilogramos de pan ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $h$,$\ell$ y $c$ las cantidades pedidas ( en gramos ) de harina, levadura y agua, respectivamente. Escribiendo las proporciones:
$$\dfrac{h}{350}=\dfrac{59,5}{100} \Rightarrow h=\dfrac{59,5\cdot 350}{100}=208,25\,\text{gramos de harina}$$
$$\dfrac{\ell}{350}=\dfrac{0,5}{100} \Rightarrow \ell=\dfrac{0,5\cdot 350}{100}=1,75\,\text{gramos de levadura}$$
$$\dfrac{a}{350}=\dfrac{40}{100} \Rightarrow a=\dfrac{40\cdot 350}{100}=140\,\text{gramos de agua}$$
Para hacer 100 kilogramos de masa de pan se necesitan 1/2 kilogramo de levadura, 59,5 kilogramos de harina y 40 kilogramos de agua. ¿ Cuántos kilogramos de harina se necesitarán para hacer 350 kilogramos de pan ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. Denotemos por $h$,$\ell$ y $c$ las cantidades pedidas ( en gramos ) de harina, levadura y agua, respectivamente. Escribiendo las proporciones:
$$\dfrac{h}{350}=\dfrac{59,5}{100} \Rightarrow h=\dfrac{59,5\cdot 350}{100}=208,25\,\text{gramos de harina}$$
$$\dfrac{\ell}{350}=\dfrac{0,5}{100} \Rightarrow \ell=\dfrac{0,5\cdot 350}{100}=1,75\,\text{gramos de levadura}$$
$$\dfrac{a}{350}=\dfrac{40}{100} \Rightarrow a=\dfrac{40\cdot 350}{100}=140\,\text{gramos de agua}$$
Ejercicio 4 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Sucesiones
ENUNCIADO. Ejercicio 93 de la página 60 del libro base ( Unidad Didáctica 3 )
De un vaso de leche se vacía la mitad y se rellena de agua. Se retira la mitad del nuevo contenido y se vuelve a rellenar con agua. Si este proceso se repite seis veces, ¿ qué parte de agua contiene el vaso ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
-----
Situación inicial
Paso 0 (n=0)
partes de leche: 1
parte de agua: 0
-----
Paso 1 (n=1)
partes de leche: 1-1/2=1/2
parte de agua: 0+1/2=1/2
-----
Paso 2 (n=2)
partes de leche: 1/2-(1/2)·(1/2)=1/4
parte de agua: 1/2+(1/2)·(1/2)=3/4
-----
Paso 3 (n=3:
partes de leche: 1/4-(1/2)·(1/4)=1/8
parte de agua: 3/4+(1/2)·(1/4)=7/8
-----
Paso 4 (n=4):
partes de leche: 1/8-(1/2)·(1/8)=1/16
parte de agua: 7/8+(1/2)·(1/8)=16/15
-----
...
Deducimos, por inducción, la fórmula del término general
-----
Paso n-ésimo (n=0,1,2,3,...):
partes de leche: $\dfrac{1}{2^n}$
parte de agua: $1-\dfrac{1}{2^n}$
Así, si $n:=6$, la proporción de leche es $\dfrac{1}{2^6}=\dfrac{1}{32} \approx 3\,\%$ y, por tanto, la proporción de agua es $1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32} \approx 97\,\%$
De un vaso de leche se vacía la mitad y se rellena de agua. Se retira la mitad del nuevo contenido y se vuelve a rellenar con agua. Si este proceso se repite seis veces, ¿ qué parte de agua contiene el vaso ?
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
-----
Situación inicial
Paso 0 (n=0)
partes de leche: 1
parte de agua: 0
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Paso 1 (n=1)
partes de leche: 1-1/2=1/2
parte de agua: 0+1/2=1/2
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Paso 2 (n=2)
partes de leche: 1/2-(1/2)·(1/2)=1/4
parte de agua: 1/2+(1/2)·(1/2)=3/4
-----
Paso 3 (n=3:
partes de leche: 1/4-(1/2)·(1/4)=1/8
parte de agua: 3/4+(1/2)·(1/4)=7/8
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Paso 4 (n=4):
partes de leche: 1/8-(1/2)·(1/8)=1/16
parte de agua: 7/8+(1/2)·(1/8)=16/15
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...
Deducimos, por inducción, la fórmula del término general
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Paso n-ésimo (n=0,1,2,3,...):
partes de leche: $\dfrac{1}{2^n}$
parte de agua: $1-\dfrac{1}{2^n}$
Así, si $n:=6$, la proporción de leche es $\dfrac{1}{2^6}=\dfrac{1}{32} \approx 3\,\%$ y, por tanto, la proporción de agua es $1-\dfrac{1}{32}=\dfrac{31}{32} \approx 97\,\%$
Ejercicio 3 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Potencias y raíces
ENUNCIADO. Ejercicio 31 de la página 35 del libro base ( Unidad Didáctica 2 )
Escribe las siguientes potencias en forma de radical y calcula el resultado:
a) $27^{1/3}$
b) $49^{-1/2}$
c) $128^{3/7}$
d) $243^{-2/5}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=(3^3)^{1/3}=3^{3/3}=3^1=3$
b)
$49^{-1/2}=\dfrac{1}{49^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{49}}=\dfrac{1}{(\pm7)^2)^{1/2}}=\dfrac{1}{(\pm7)^{2/2}}=\dfrac{1}{\pm7}=\pm\dfrac{1}{7}$
c)
$128^{3/7}=\sqrt[7]{128^3}=\sqrt[7]{(2^7)^3}=((2^7)^{1/7})^3=(2^{7/7})^3=(2^1)^3=2^3=8$
d)
$243^{-2/5}=\dfrac{1}{243^{2/5}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{243^2}}=\dfrac{1}{((3^5)^{1/5})^2}=\dfrac{1}{((3^{5/5})^2}=\dfrac{1}{((3^{1})^2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$
Escribe las siguientes potencias en forma de radical y calcula el resultado:
a) $27^{1/3}$
b) $49^{-1/2}$
c) $128^{3/7}$
d) $243^{-2/5}$
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=(3^3)^{1/3}=3^{3/3}=3^1=3$
b)
$49^{-1/2}=\dfrac{1}{49^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{49}}=\dfrac{1}{(\pm7)^2)^{1/2}}=\dfrac{1}{(\pm7)^{2/2}}=\dfrac{1}{\pm7}=\pm\dfrac{1}{7}$
c)
$128^{3/7}=\sqrt[7]{128^3}=\sqrt[7]{(2^7)^3}=((2^7)^{1/7})^3=(2^{7/7})^3=(2^1)^3=2^3=8$
d)
$243^{-2/5}=\dfrac{1}{243^{2/5}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{243^2}}=\dfrac{1}{((3^5)^{1/5})^2}=\dfrac{1}{((3^{5/5})^2}=\dfrac{1}{((3^{1})^2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$
Ejercicio 2 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Potencias y raíces
ENUNCIADO. Ejercicio 88 de la página 40 del libro base ( Unidad Didáctica 2 )
Expresa en forma de potencia de 2 el número total de cuadrados que tiene un tablero de ajedrez, sabiendo que tiene 8 filas y 8 columnas
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. El número total de cuadrados (pequeños) es igual a $$8\cdot 8=2^3\cdot 2^3=2^{3+3}=2^6$$
Expresa en forma de potencia de 2 el número total de cuadrados que tiene un tablero de ajedrez, sabiendo que tiene 8 filas y 8 columnas
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NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN. El número total de cuadrados (pequeños) es igual a $$8\cdot 8=2^3\cdot 2^3=2^{3+3}=2^6$$
Ejercicio 1 de la semana del 25 al 31 de mayo de 2020 - Álgebra. Ecuaciones
ENUNCIADO. Ejercicio 110 de la página 22 del libro base ( Unidad Didáctica 1 )
Una tela, después de lavada, se reduce en 1/5 de su longitud y en 1/16 de su anchura. ¿ Qué longitud de una pieza de tela de 0,8 metros de ancho debe comprarse para que, después de lavada, se tengan 84 metros cuadrados ?
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el largo de la pieza de tela antes de lavarla, entonces: $$\left((1-\dfrac{1}{5})\,x\right)\cdot\left((1-\dfrac{1}{16})\cdot 0,8\right)=84$$ esto es $$\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{15}{16}\cdot 0,8\,x=84 \Rightarrow x=\dfrac{84\cdot 16\cdot 5}{4\cdot 15\cdot 0,8}=140\,\text{m}$$
Una tela, después de lavada, se reduce en 1/5 de su longitud y en 1/16 de su anchura. ¿ Qué longitud de una pieza de tela de 0,8 metros de ancho debe comprarse para que, después de lavada, se tengan 84 metros cuadrados ?
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el largo de la pieza de tela antes de lavarla, entonces: $$\left((1-\dfrac{1}{5})\,x\right)\cdot\left((1-\dfrac{1}{16})\cdot 0,8\right)=84$$ esto es $$\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{15}{16}\cdot 0,8\,x=84 \Rightarrow x=\dfrac{84\cdot 16\cdot 5}{4\cdot 15\cdot 0,8}=140\,\text{m}$$
jueves, 21 de mayo de 2020
Ejercicio 7 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Cálculo de probabilidades. Tablas de contingencia. Probabilidad condicionada
ENUNCIADO. Un 80% de los estudiantes de un centro escolar de 1100 estudiantes practican alguna actividad deportiva. De los que hacen deporte, un 45% son chicas, y de los que no, un 35% son chicos. Elegido un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que sea:
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
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SOLUCIÓN.
a) un chico
b) una chica
c) un estudiante que haga deporte
d) un estudiante que no haga de porte
e) una chica, y que no haga deporte
f) alguien que no haga deporte, sabiendo que se trata de una chica
g) una chica, sabiendo que no hace deporte
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miércoles, 20 de mayo de 2020
Ejercicio 6 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Principio de Laplace. Diagramas cartesianos
ENUNCIADO. Lanzamos dos dados de parchís, con sus caras numeradas del 2 al 7. ¿ Cuál es la probabilidad los resultados sean números primos entre sí ?
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Ejercicio 5 de la semana del 18 al 24 de mayo de 2020 - Probabilidad. Experimentos aleatorios. Diagramas cartesianos. Tablas. Principio de Laplace
ENUNCIADO. Lanzamos dos veces un dado en forma de tetraedro, con las caras numeradas del 1 al 4. ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de la segunda tirada supere al de la primera ?.
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