[Altafulla, Mayo de 2015]
[proyección]
[autoría]
viernes, 23 de octubre de 2015
domingo, 18 de octubre de 2015
Hallar los números racionales tales que ...
ENUNCIADO. Hallar los números racionales tales que la suma ( de cada uno de ellos ) con el respectivo inverso es la fracción $\dfrac{10}{3}$
SOLUCIÓN. Traduciendo al lenguaje algebraico $$x+\text{inv}(x)=\dfrac{10}{3}$$ y como $\text{inv}(x)$ es $\dfrac{1}{x}$ escribimos $$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}$$ Multiplicando por $3\,x$ en cada miembro $$3\,x\cdot x+3\,x \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{30\,x}{3}$$ que, simplificada, es $$3\,x^3+3=10\,x$$ ecuación de segundo grado que, una vez agrupados y ordenados los términos en el primer miembro, equivale a $$3\,x^3-10\,x+3=0$$ que resolveremos por el procedimiento habitual $$x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3}=\dfrac{10 \pm 8}{6}=\left\{\begin{matrix}
3 \\
\\
1/3
\end{matrix}\right.$$
Vemos, pues, que hay dos números que cumplen la condición pedida: $3$ ( el inverso de éste es $1/3$ ) y $1/3$ ( su inverso es $3$ ). $\square$
SOLUCIÓN. Traduciendo al lenguaje algebraico $$x+\text{inv}(x)=\dfrac{10}{3}$$ y como $\text{inv}(x)$ es $\dfrac{1}{x}$ escribimos $$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}$$ Multiplicando por $3\,x$ en cada miembro $$3\,x\cdot x+3\,x \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{30\,x}{3}$$ que, simplificada, es $$3\,x^3+3=10\,x$$ ecuación de segundo grado que, una vez agrupados y ordenados los términos en el primer miembro, equivale a $$3\,x^3-10\,x+3=0$$ que resolveremos por el procedimiento habitual $$x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3}=\dfrac{10 \pm 8}{6}=\left\{\begin{matrix}
3 \\
\\
1/3
\end{matrix}\right.$$
Vemos, pues, que hay dos números que cumplen la condición pedida: $3$ ( el inverso de éste es $1/3$ ) y $1/3$ ( su inverso es $3$ ). $\square$
[autoría]
La diferencia de dos números naturales es ...
ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es $4$. Al restar los triples de dichos números nos da $12$. Plantear un sistema de ecuaciones, estudiarlo y resolverlo ( si procede ).
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al mayor de dichos números, y por $y$ al menor. Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
3x &-&3y&=&12
\end{matrix}\right.$$
Observemos que con la combinación lineal ( entre ecuaciones ) $-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
0\cdot x &-&0 \cdot y&=&0
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
&&0&=&0
\end{matrix}\right.$$ Como la segunda ecuación no aporta información ( por ser, en realidad la misma que la primera, pues se obtiene de ésta multiplicando miembro a miembro por $3$ ), contamos solamente con una ecuación independiente, que es la primera: $$x-y=4$$ y al haber más incógnitas que ecuaciones ( dos incógnitas y una sola ecuación ), el sistema planteado ( el problema ) es compatible indeterminado; existen, por tanto, infinitos pares de valores ($x$,$y$) que forman parte de la solución del mismo. Así, poniendo $x$ en función de $y$, vemos que se trata de los pares de puntos ($4+y$\,,\,$y$), con lo cual, tenemos por ejemplo ( dando valores arbitrarios a $y$ $\rightarrow 0,1,2,3\ldots$ ) los siguientes como solución: $(4\,,\,0)$, $(5\,,\,1)$, $(6\,,\,2)$, etcétera.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al mayor de dichos números, y por $y$ al menor. Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
3x &-&3y&=&12
\end{matrix}\right.$$
Observemos que con la combinación lineal ( entre ecuaciones ) $-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
0\cdot x &-&0 \cdot y&=&0
\end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&4 \\
&&0&=&0
\end{matrix}\right.$$ Como la segunda ecuación no aporta información ( por ser, en realidad la misma que la primera, pues se obtiene de ésta multiplicando miembro a miembro por $3$ ), contamos solamente con una ecuación independiente, que es la primera: $$x-y=4$$ y al haber más incógnitas que ecuaciones ( dos incógnitas y una sola ecuación ), el sistema planteado ( el problema ) es compatible indeterminado; existen, por tanto, infinitos pares de valores ($x$,$y$) que forman parte de la solución del mismo. Así, poniendo $x$ en función de $y$, vemos que se trata de los pares de puntos ($4+y$\,,\,$y$), con lo cual, tenemos por ejemplo ( dando valores arbitrarios a $y$ $\rightarrow 0,1,2,3\ldots$ ) los siguientes como solución: $(4\,,\,0)$, $(5\,,\,1)$, $(6\,,\,2)$, etcétera.
$\square$
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En un depósito ...
ENUNCIADO. En un depósito hay dos grifos de llenado. Si se abre solamente el primero, el depósito se llena en $3$ horas. Si se abra solamente el segundo, el depósito se llena en $6$ horas. ¿ En cuánto tiempo se llenará si se abren los dos a la vez ?.
SOLUCIÓN. El tiempo que transcurre con los dos grifos abiertos, $x$, es directamente proporcional a la fracción del depósito que se llena. Si el primer depósito llena todo el depósito en $3$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{3}$ del mismo; y, si el segundo grifo llena todo el depósito en $6$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{6}$ del mismo. Luego, en una misma hora, los dos grifos abiertos a la vez llenan $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ del depósito, lo cual nos lleva a plantear la siguiente ecuación ( proporción directa ):
$\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{x}{3/3}$. Resolviéndola,
$\dfrac{1}{2/3}=x$
$\dfrac{3}{2}=x$
luego $x=1,5$ horas
es decir, $x=1$ hora y $30$ minutos
$\square$
SOLUCIÓN. El tiempo que transcurre con los dos grifos abiertos, $x$, es directamente proporcional a la fracción del depósito que se llena. Si el primer depósito llena todo el depósito en $3$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{3}$ del mismo; y, si el segundo grifo llena todo el depósito en $6$ horas, en $1$ hora llena $\dfrac{1}{6}$ del mismo. Luego, en una misma hora, los dos grifos abiertos a la vez llenan $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$ del depósito, lo cual nos lleva a plantear la siguiente ecuación ( proporción directa ):
$\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{x}{3/3}$. Resolviéndola,
$\dfrac{1}{2/3}=x$
$\dfrac{3}{2}=x$
luego $x=1,5$ horas
es decir, $x=1$ hora y $30$ minutos
$\square$
[autoría]
En una granja ...
ENUNCIADO. En una granja, entre conejos y gallinas, hay 25 animales. Si entre todos hay $82$ patas, ¿ cuántos conejos y cuántas gallinas hay ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el número de conejos, entonces $25-x$ es el número de gallinas. Como cada conejo tiene cuatro patas y cada gallina tiene dos, podemos escribir la siguiente ecuación $$4x+2\,(25-x)=82$$. Resolvámosla:
$4x+2\,(25-x)=82$
$4x+50-2x=82=82$
$2x=82-50$
$2x=32$
$x=\dfrac{32}{2}$
$x=15$ conejos
luego el número de gallinas es $25-16=9$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el número de conejos, entonces $25-x$ es el número de gallinas. Como cada conejo tiene cuatro patas y cada gallina tiene dos, podemos escribir la siguiente ecuación $$4x+2\,(25-x)=82$$. Resolvámosla:
$4x+2\,(25-x)=82$
$4x+50-2x=82=82$
$2x=82-50$
$2x=32$
$x=\dfrac{32}{2}$
$x=15$ conejos
luego el número de gallinas es $25-16=9$
$\square$
[autoría]
Después de recorrer ...
ENUNCIADO. Después de recorrer la cuarta parte de un camino, y luego las dos terceras partes del resto, todavía nos quedan $3$ quilómetros por andar. ¿ Cuánto mide la longitud total del camino ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud pedida, entonces $$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\,x\right)=3$$ y realizando los pasos necesarios para despejar $x$,
$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{2}\right)=3$
$x-\dfrac{3}{4}\,x=3$
$\dfrac{1}{4}\,x=3$
$x=3 \cdot 4$
$x=12\,\text{km}$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la longitud pedida, entonces $$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{4}\,x\right)=3$$ y realizando los pasos necesarios para despejar $x$,
$x-\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{2}\right)=3$
$x-\dfrac{3}{4}\,x=3$
$\dfrac{1}{4}\,x=3$
$x=3 \cdot 4$
$x=12\,\text{km}$
$\square$
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