Hallar los números racionales tales que ...

ENUNCIADO. Hallar los números racionales tales que la suma ( de cada uno de ellos ) con el respectivo inverso es la fracción $\dfrac{10}{3}$

SOLUCIÓN. Traduciendo al lenguaje algebraico $$x+\text{inv}(x)=\dfrac{10}{3}$$ y como $\text{inv}(x)$ es $\dfrac{1}{x}$ escribimos $$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}$$ Multiplicando por $3\,x$ en cada miembro $$3\,x\cdot x+3\,x \cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{30\,x}{3}$$ que, simplificada, es $$3\,x^3+3=10\,x$$ ecuación de segundo grado que, una vez agrupados y ordenados los términos en el primer miembro, equivale a $$3\,x^3-10\,x+3=0$$ que resolveremos por el procedimiento habitual $$x=\dfrac{-(-10)\pm \sqrt{(-10)^2-4\cdot 3 \cdot 3}}{2\cdot 3}=\dfrac{10 \pm 8}{6}=\left\{\begin{matrix}
3 \\
\\
1/3
\end{matrix}\right.$$
Vemos, pues, que hay dos números que cumplen la condición pedida: $3$ ( el inverso de éste es $1/3$ ) y $1/3$ ( su inverso es $3$ ). $\square$

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