La diferencia de dos números naturales es ...

ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es $4$. Al restar los triples de dichos números nos da $12$. Plantear un sistema de ecuaciones, estudiarlo y resolverlo ( si procede ).

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al mayor de dichos números, y por $y$ al menor. Entonces, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix} x &-&y&=&4 \\ 3x &-&3y&=&12 \end{matrix}\right.$$
Observemos que con la combinación lineal ( entre ecuaciones ) $-3\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix} x &-&y&=&4 \\ 0\cdot x &-&0 \cdot y&=&0 \end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix} x &-&y&=&4 \\ &&0&=&0 \end{matrix}\right.$$ Como la segunda ecuación no aporta información ( por ser, en realidad la misma que la primera, pues se obtiene de ésta multiplicando miembro a miembro por $3$ ), contamos solamente con una ecuación independiente, que es la primera: $$x-y=4$$ y al haber más incógnitas que ecuaciones ( dos incógnitas y una sola ecuación ), el sistema planteado ( el problema ) es compatible indeterminado; existen, por tanto, infinitos pares de valores ($x$,$y$) que forman parte de la solución del mismo. Así, poniendo $x$ en función de $y$, vemos que se trata de los pares de puntos ($4+y$\,,\,$y$), con lo cual, tenemos por ejemplo ( dando valores arbitrarios a $y$ $\rightarrow 0,1,2,3\ldots$ ) los siguientes como solución: $(4\,,\,0)$, $(5\,,\,1)$, $(6\,,\,2)$, etcétera.
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