Plantear y resolver

ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es $2$. Al restar los triples de dichos números nos da $6$. Encontrar dichos números, planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ e $y$ dichos números, donde $x \succ y$. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}
x &-&y&=&2 \\
3\,x &-&3\,y&=&6 \\
\end{matrix}\right.$$
La segunda ecuación es, en realidad, la primera, pues basta multiplicar por $3$ ( miembro a miembro ) los términos de la primera para obtener la segunda. Por lo tanto, este sistema consta de una sola ecuación ( independiente ) con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado, esto es, hay infinitos pares de valores (x,y) que cumplen la condición pedida, y éstos son, concretamente, de la forma $$(x\,,\,y=x-2)$$ Así, por ejemplo, $x=2$ e $y=0$ forman parte de la solución; pero también, $(3,1)$, $(4,2)$, ($5,3)$, etcétera.

$\square$

[autoría]

Resolver ...

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) $x^2-2\,x-8=0$
b) $(x+1)^2-9=0$
c) $3\,x^2-6\,x=0$

SOLUCIÓN.
a)
$x^2-2\,x-8=0$
  $1 \cdot x^2+(-2)\,x+(-8)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}=$

    $=\dfrac{2\pm \sqrt{36}}{2 }=\dfrac{2\pm 6}{2 }=1\pm3=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$

Otra forma de hacerlo:
$x^2-2\,x-8=0$
  $(x-1)^2-8-1=0$
    $(x-1)^2=9$
      $\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{9}$
        $x-1=\pm 3$
          $x=\pm 3+1=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\\
-2
\end{matrix}\right.$

b)
$(x+1)^2-9=0$
  $(x+1)^2=9$
    $\sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{9}$
      $x+1=\pm 3$
        $x=\pm 3-1=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\\
-4
\end{matrix}\right.$

c)
$3\,x^2-6\,x=0$
  $3\,x \,(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
3x=0 \Leftrightarrow x=0
\\
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$

[autoría]

Resolver

ENUNCIADO. Resolver:
a) $2\,(x-1)=3\,(1-x)$
b) $\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
c) $\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$


SOLUCIÓN.
a)
$2\,(x-1)=3\,(1-x)$
  $2x-2=3-3x$
    $2x+3x=3+2$
      $5x=5$
        $x=1$

b)
$\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}$
  $12 \cdot \dfrac{x+2}{6}=12 \cdot \dfrac{x-1}{12}$
    $2\cdot (x+2)=1 \cdot (x-1)$
      $2x+4=x-1$
        $2x-x=-1-4$
          $x=-5$

c)
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &-&3\,y&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$

Con la combinación $3e_1+e_2 \rightarrow e_2$ llegamos al siguiente sistema equivalente

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
7x &&&=&3 \\
\end{matrix}\right.$$

Simplificando la segunda ecuación

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x &+&y&=&1 \\
x &&&=&\dfrac{3}{7} \\
\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $x$ en la primera ecuación de este sistema ( equivalente ), obtenemos el valor de $y$:

$2\cdot \dfrac{3}{7}+y=1$
  $y=1-2\cdot \dfrac{3}{7}$
    $y=\dfrac{1}{7}$

$\square$

[autoría]

Fracciones generatrices

ENUNCIADO. Determinar la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) $4,32$
b) $2,50\overline{1}$
c) $14,\overline{46}$

SOLUCIÓN.
a) $4,32 \quad \overset{\text{d.e.}}{=} \quad \dfrac{432}{100} \quad \overset{\text{m.c.d}(432,100)=4}{=} \quad \dfrac{108}{25}$

b) $2,50\overline{1} \quad \overset{\text{d.p.m.}}{=} \quad \dfrac{2501-250}{900} = \dfrac{2251}{900}$

c) $14,\overline{46} \quad \overset{\text{d.p.p.}}{=} \quad \dfrac{1446-14}{99} = \dfrac{1432}{99}$

$\square$

[autoría]

Calcular ...

ENUNCIADO. Realizar las siguientes operaciones con fracciones ( las simplificaciones son obligatorias ):
a) $\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}$
b) $\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$
c) $\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$
d) $\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}=$

  $\overset{\text{m.c.m}(3,18,12)=36}{=} \quad \quad \dfrac{2 \cdot 36 \div 3}{36}+\dfrac{5 \cdot 36 \div 18}{36}+\dfrac{(-1) \cdot 36 \div 12 }{36}$

        $=\dfrac{24}{36}+\dfrac{10}{36}+\dfrac{(-3)}{36}$

          $=\dfrac{24+10+(-3)}{36}$

            $=\dfrac{31}{36}$


b)

$\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}$

  $=\dfrac{4 \cdot 25}{5 \cdot 8}$

    $=\dfrac{25 \cdot 4}{5 \cdot 8}$

      $=\dfrac{25}{5} \cdot \dfrac{4}{8}$

        $=5 \cdot \dfrac{1}{2}$

          $=\dfrac{5}{2}$


c)

$\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}$

  $=\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2} \right)$

    $=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{9}$

      $=\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

        $=\dfrac{2 \cdot 3}{4 \cdot 9}$

          $=\dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{3}{9}$

            $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$

              $=\dfrac{1 \cdot 1 }{2 \cdot 3}$

                $=\dfrac{1 }{6}$


d)

$\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3$

  $=\left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}\right)^3$

    $=\left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{(-5)}{2}\right)^3$

      $=\left(\dfrac{2+(-5)}{2}\right)^3$

        $=\left(\dfrac{(-3)}{2}\right)^3$

          $=\dfrac{(-3)^3}{2^3}$

            $=\dfrac{(-27)}{8}$

              $=-\dfrac{27}{8}$

$\square$

[autoría]