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martes, 3 de noviembre de 2015

Plantear y resolver

ENUNCIADO. La diferencia de dos números naturales es 2. Al restar los triples de dichos números nos da 6. Encontrar dichos números, planteando y resolviendo un sistema de ecuaciones.

SOLUCIÓN. Denotemos por x e y dichos números, donde x \succ y. Entonces, \left\{\begin{matrix} x &-&y&=&2 \\ 3\,x &-&3\,y&=&6 \\ \end{matrix}\right.
La segunda ecuación es, en realidad, la primera, pues basta multiplicar por 3 ( miembro a miembro ) los términos de la primera para obtener la segunda. Por lo tanto, este sistema consta de una sola ecuación ( independiente ) con 2 incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado, esto es, hay infinitos pares de valores (x,y) que cumplen la condición pedida, y éstos son, concretamente, de la forma (x\,,\,y=x-2) Así, por ejemplo, x=2 e y=0 forman parte de la solución; pero también, (3,1), (4,2), (5,3), etcétera.

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[autoría]

Resolver ...

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) x^2-2\,x-8=0
b) (x+1)^2-9=0
c) 3\,x^2-6\,x=0

SOLUCIÓN.
a)
x^2-2\,x-8=0
  1 \cdot x^2+(-2)\,x+(-8)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}=

    =\dfrac{2\pm \sqrt{36}}{2 }=\dfrac{2\pm 6}{2 }=1\pm3=\left\{\begin{matrix} 4 \\ \\ -2 \end{matrix}\right.

Otra forma de hacerlo:
x^2-2\,x-8=0
  (x-1)^2-8-1=0
    (x-1)^2=9
      \sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{9}
        x-1=\pm 3
          x=\pm 3+1=\left\{\begin{matrix} 4 \\ \\ -2 \end{matrix}\right.

b)
(x+1)^2-9=0
  (x+1)^2=9
    \sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{9}
      x+1=\pm 3
        x=\pm 3-1=\left\{\begin{matrix} 2 \\ \\ -4 \end{matrix}\right.

c)
3\,x^2-6\,x=0
  3\,x \,(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x=0 \Leftrightarrow x=0 \\ \\ x-2=0 \Leftrightarrow x=2 \end{matrix}\right.



[autoría]

Resolver

ENUNCIADO. Resolver:
a) 2\,(x-1)=3\,(1-x)
b) \dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}
c) \left\{\begin{matrix} 2\,x &+&y&=&1 \\ x &-&3\,y&=&0 \\ \end{matrix}\right.


SOLUCIÓN.
a)
2\,(x-1)=3\,(1-x)
  2x-2=3-3x
    2x+3x=3+2
      5x=5
        x=1

b)
\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{x-1}{12}
  12 \cdot \dfrac{x+2}{6}=12 \cdot \dfrac{x-1}{12}
    2\cdot (x+2)=1 \cdot (x-1)
      2x+4=x-1
        2x-x=-1-4
          x=-5

c)
\left\{\begin{matrix} 2\,x &+&y&=&1 \\ x &-&3\,y&=&0 \\ \end{matrix}\right.

Con la combinación 3e_1+e_2 \rightarrow e_2 llegamos al siguiente sistema equivalente

\left\{\begin{matrix} 2\,x &+&y&=&1 \\ 7x &&&=&3 \\ \end{matrix}\right.

Simplificando la segunda ecuación

\left\{\begin{matrix} 2\,x &+&y&=&1 \\ x &&&=&\dfrac{3}{7} \\ \end{matrix}\right.

Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación de este sistema ( equivalente ), obtenemos el valor de y:

2\cdot \dfrac{3}{7}+y=1
  y=1-2\cdot \dfrac{3}{7}
    y=\dfrac{1}{7}

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[autoría]

Fracciones generatrices

ENUNCIADO. Determinar la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
a) 4,32
b) 2,50\overline{1}
c) 14,\overline{46}

SOLUCIÓN.
a) 4,32 \quad \overset{\text{d.e.}}{=} \quad \dfrac{432}{100} \quad \overset{\text{m.c.d}(432,100)=4}{=} \quad \dfrac{108}{25}

b) 2,50\overline{1} \quad \overset{\text{d.p.m.}}{=} \quad \dfrac{2501-250}{900} = \dfrac{2251}{900}

c) 14,\overline{46} \quad \overset{\text{d.p.p.}}{=} \quad \dfrac{1446-14}{99} = \dfrac{1432}{99}

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[autoría]

Calcular ...

ENUNCIADO. Realizar las siguientes operaciones con fracciones ( las simplificaciones son obligatorias ):
a) \dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}
b) \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}
c) \dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}
d) \left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3

SOLUCIÓN.
a)
\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{12}=

  \overset{\text{m.c.m}(3,18,12)=36}{=} \quad \quad \dfrac{2 \cdot 36 \div 3}{36}+\dfrac{5 \cdot 36 \div 18}{36}+\dfrac{(-1) \cdot 36 \div 12 }{36}

        =\dfrac{24}{36}+\dfrac{10}{36}+\dfrac{(-3)}{36}

          =\dfrac{24+10+(-3)}{36}

            =\dfrac{31}{36}


b)

\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{25}{8}

  =\dfrac{4 \cdot 25}{5 \cdot 8}

    =\dfrac{25 \cdot 4}{5 \cdot 8}

      =\dfrac{25}{5} \cdot \dfrac{4}{8}

        =5 \cdot \dfrac{1}{2}

          =\dfrac{5}{2}


c)

\dfrac{3}{4}\div \dfrac{9}{2}

  =\dfrac{3}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2} \right)

    =\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{2}{9}

      =\dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9}

        =\dfrac{2 \cdot 3}{4 \cdot 9}

          =\dfrac{2}{4}\cdot \dfrac{3}{9}

            =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}

              =\dfrac{1 \cdot 1 }{2 \cdot 3}

                =\dfrac{1 }{6}


d)

\left(1-\dfrac{5}{2}\right)^3

  =\left(\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}\right)^3

    =\left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{(-5)}{2}\right)^3

      =\left(\dfrac{2+(-5)}{2}\right)^3

        =\left(\dfrac{(-3)}{2}\right)^3

          =\dfrac{(-3)^3}{2^3}

            =\dfrac{(-27)}{8}

              =-\dfrac{27}{8}

\square


[autoría]