Un ejemplo sencillo de demostración deductiva en teoría elemental de números.

ENUNCIADO. Demuéstrese que, dados dos números enteros cualesquiera $a$ y $b$, y un número entero $c\neq 0$, entonces si $c$ divide a $a$ y $c$ divide a $b$, se cumple que $c$ divide a $a+b$

SOLUCIÓN.
Si $c\neq 0$ divide a $a$, entonces puede encontrarse un número entero $m$ de tal manera que $a=m\,c$ (y, por tanto, el resto de la división $a \div c$ es $0$); de manera análoga, como $c\neq 0$ divide a $b$, entonces existe un número entero $n$ tal que $b=n\,c$. Por tanto, $a\,b = m\,c+n\,c=(m+n)\,c$, y como $k:=m+n$ es obviamente un número entero, $a\,b=k\,c$, de donde concluimos que $c$ divide a $a+b$. $\square$
-oOo-COMENTARIO (acerca de la notación al uso). En teoría de números, para expresar que un número entero $\ell$ divide a otro número entero $p$ suele ser habitual la siguiente notación $\ell|p$. En otros ejercicios que seguirán a éste se utilizará esta notación. Por cierto, al dividir $\ell$ a $p$, $p$ es múltiplo de $\ell$, lo cual se expresa de la forma $p=(\dot{\ell})$.

Justificación de la fórmula para la resolución de una ecuación general de segundo grado

Resolviendo ecuaciones de segundo grado habiendo olvidado la consabida fórmula

Un ejercicio básico de proporcionalidad

ENUNCIADO. Carmen, que trabaja en un taller de electrónica, necesita $1\,600$ euros al mes para cubrir sus gastos básicos. De su sueldo, tiene que descontar un 7% en concepto de impuestos. ¿ Cuál debería ser la cuantía mínima de su sueldo ?.

SOLUCIÓN.
Procedimiento I.
Denotemos por $x$ la cuantía de dicho sueldo. Entonces, según el enunciado, podemos escribir la siguiente ecuación, $$x-\dfrac{7}{100}\,x = 1\,600$$ esto es $$\dfrac{93}{100}\,x= 1\,1600$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{1\,600\cdot 100}{93} \approx 1\,720,43\,\text{euros}$$

Procedimiento II.
Recogiendo los datos en la siguiente tabla, podemos plantear la proporción directa que lleva a la solución del problema.

+================================+
|  sueldo bruto  |   sueldo neto |
+================================+
|     100        |     100-7     |
+----------------|---------------+
|      x         |      1600     |
+--------------------------------+

$\dfrac{x}{100}=\dfrac{1600}{100-7} \Rightarrow x=\dfrac{100\cdot 1600}{93}\approx 1\,720,43\,\text{euros}$, aproximando al céntimo de euro.
$\square$

Cálculo de la tasa de interés anual en un problema de interés compuesto