¿Cómo estudiar y resolver ecuaciones lineales en las que aparece el valor absoluto de la incógnita en algunos de los términos algebraicos?

Un ejemplo de lo que quiero decir es la ecuación $$3\,|x|+2=|x|-1$$ Veamos cómo podemos estudiarla correctamente, y, si la tuviese, cómo encontrar la solución:

Podemos darnos cuenta rápidamente de que esta ecuación no tiene solución, pues es equivalente a $$3\,|x|-|x|=-2-1$$ esto es $$2\,|x|=-3$$ y por tanto $$|x|\overset{!}{=}-\dfrac{3}{2} \lt 0$$ pero esto es una contradicción, ya que el valor absoluto de un número no puede ser negativo, por consiguiente hay que concluir que la ecuación propuesta no tiene solución (es incompatible).

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Observación importante:

Hay que tener mucho chidado si procedemos de la manera alternativa que voy a comentar, mediante la cual, desde luego, se llega a la misma conclusión, pero eso sí, es necesario comprobar aparentes soluciones, que, en realidad no lo son. Veamos a qué me estoy refiriendo:

Es evidente que $0$ no es solución de la ecuación, pues al sustituir en la ecuación, se tiene que $3\cdot |0|+2=|0|-1$, esto es, $0+2=0-1$, luego $2=-1$, que, es una contradicción. Entonces, el valor de $x$ puede ser positivo o bien negativo:

1. Si $x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3x+2=x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$3x-x=-1-2$$ $$2x=-3$$ $$x=-\dfrac{3}{2}$$ Debemos ahora comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |3/2|+2\overset{?}{=}|3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3x+2=x-1$, no es solución de la ecuación propuesta, $3\,|x|+2=|x|-1$.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $3\,(-x)+2=-x-1$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$-3x+x=--1-2$$ $$-2x=-3$$ $$x=\dfrac{3}{2}$$ Como en el caso anterior, debemos comprobar si éste valor es también solución de la ecuación original: sustituyéndolo en la misma para ver si satisface la igualdad numérica: $$3\cdot |-3/2|+2\overset{?}{=}|-3/2|-1$$ $$3\cdot \dfrac{3}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{3}{2}-1$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{9}{2}+2\overset{?}{=}\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{13}{2}\overset{!}{=}\dfrac{1}{2}$$ que es una contradicción, pues es claro que $6,5=\dfrac{13}{2}\neq \dfrac{1}{2}=0,5$ , luego $x=-\dfrac{3}{2}$, que es solución de la ecuación $3\,(-x)+2=-x-1$, no lo es solución de la ecuación propuesta.

Por consiguiente, la ecuación propuesta no tiene solución. $\diamond$

La proporcionalidad directa entre fuerza y superficie (de los émbolos) en los gatos hidráulicos

Un gato hidráulico no es más que una prensa hidráulica empleado en los talleres mecánicos y también como máquina para elevar un vehículo pesado y así poder cambiar una rueda malograda. El mecanismo es muy sencillo: se trata de dos émbolos comunicados por un conducto y en el que se utiliza un fluido para transmitir una fuerza $F_1$ aplicada directamente sobre el émbolo $E_1$, que al transmitirse al segundo émbolo $E_2$ de mayor superficie que el primero, y colocado convenientemente sobre el cuerpo en el que se quiera actuar, se produce sobre éste una fuerza $F_2$ mayor que $F_1$. Esto es así por estar la magnitud fuerza y la magnitud superfice en proporción directa, como vamos a ver en seguida. Suponiendo que los émbolos son de sección circular y que sus radios son $r_1=2\,\text{cm}$ y $r_2=4\,\text{cm}$, ¿Cuál es el peso, $F_2$, que podemos elevar al ejercer una fuerza $F_1=200\,\text{N}$ (newtons) en $E_1$?.

La presión del fluido (fuerza que actúa por unidad de área) es la misma debajo de cada uno de los dos émbolos, luego estas magnitudes (fuerza y área) están en proporción directa: $\dfrac{F_1}{S_1}=\dfrac{F_2}{S_2}$, donde $S_1$ y $S_2$ son las superficies de dichos émbolos, que, al ser de sección circular, se calculan por la conocida fórmula del área de un círculo (el número $\pi$ por el cuadrado del radio). Entonces, con los datos del problema: $\dfrac{200}{\pi\cdot 2^2}=\dfrac{F_2}{\pi\cdot 10^2}$. Nota: no hace falta convertir los centímetros a metros (para trabajar con unidades homogéneas del Sistema Internacional), pues el factor de conversión estará en los dos miembros de la igualdad y por tanto ambos se cancelarán. Despejando, $F_2$ de esta ecuación, se tiene que $F_2=200\cdot \dfrac{10^2}{2^2}$, o lo que es lo mismo, $F_2=200 \cdot \left(\dfrac{10}{2}\right)^2=5\,000\,\text{N}$. $\diamond$

Sucesiones artimético-geométricas

Los términos de una sucesión aritmético-geométrica están formados por productos de dos factores de los cuales uno de ellos sigue una sucesión aritmética y el otro sigue una sucesión geométrica; o bien por cocientes, los numeradores de los cuales siguen una sucesión aritmética o geométrica y los denominadores una sucesión geométrica (si los numeradores siguen una s. aritmética) o aritmética (si los numeradores siguen una s. geométrica). Vamos a exponer cómo encontramos el término general de una sucesión de este tipo.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo Consideremos la sucesión $$1,\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ esto es $$\dfrac{1}{1},\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{9}{16},\ldots$$ Observemos que los numeradores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que son los números impares consecutivos; por otra parte, los denominadores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$ (las potencias consecutivas de base $2$, empezando por el exponente $0$), por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$c_n=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}\, \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $c_1=1$; en efecto: $c_1=\dfrac{2\cdot 1-1}{2^{1-1}}=\dfrac{1}{2^{0}}=\dfrac{1}{1}=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $c_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $c_2=\dfrac{2\cdot 2-1}{2^{2-1}}=\dfrac{4-1}{2^{1}}=\dfrac{3}{2}$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $c_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $c_3=\dfrac{2\cdot 3-1}{2^{2-1}}=\dfrac{6-1}{2^{2}}=\dfrac{5}{4}$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$c_{11}=\frac{2\cdot 11-1}{2^{11-1}}=\dfrac{22-1}{2^{10}}=\dfrac{21}{1024}$$

Ejemplo 2

Consideremos la sucesión $$1,6,20,56,144,\ldots$$ Puede comprobarse que dichos términos se puede escribir de la forma $$1\cdot 1, 3\cdot 2, 5\cdot 4,7 \cdot 8,9\cdot 16,\ldots$$ Observemos que los primeros factores forma una sucesión aritmética cuyo primer término es $a_1=1$ y la diferencia es $d_n=2$: $1,3,5,7,\ldots$, luego el término general de la sucesión de los numeradores es $a_n=a_1+(n-1)\,d=1+2\,(n-1)=2n-1$, para $n=1,2,3,\ldots$, que, como en el primer ejemplo son los números impares consecutivos; por otra parte, los segundos factores $1,2,4,8,\ldots$ siguen una sucesión geométrica de razón $r=2$ y primer término $b_n=1$, por lo que el término general de dicha sucesión geométrica es $b_n=b_{1}\,r^{n-1}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

Visto lo anterior, el término general de la sucesión aritmética-geométrica pedida es $$d_n=a_{n}\cdot b_{n}=2^{n-1}\cdot (2n-1)\; \text{para}\; n=1,2,3,\ldots$$

Comprobemos el resultado para los primeros términos:

• Para $n=1$, debemos obtener $d_1=1$; en efecto: $d_1=a_{1}\cdot b_{1}=2^{1-1}\cdot (2\cdot 1-1)=2^{0}\cdot (2-1)=1\cdot 1=1$
  
• Para $n=2$, debemos obtener $d_2=\dfrac{3}{2}$; en efecto: $d_2=a_{2}\cdot b_{2}=2^{2-1}\cdot (2\cdot 2-1)=2^{1}\cdot (4-1)=2\cdot 3=6$
  
• Para $n=3$, debemos obtener $d_2=\dfrac{5}{4}$; en efecto: $d_3=a_{3}\cdot b_{3}=2^{3-1}\cdot (2\cdot 3-1)=2^{2}\cdot (6-1)=4\cdot 5=20$
  
• $\ldots$

Podemos ahora hacer uso de la expresión del término general para calcular el valor de cualquier término, por ejemplo, el del undécimo: $$d_{11}=a_{11}\cdot b_{11}=2^{11-1}\cdot (2\cdot 11-1)=2^{10}\cdot (22-1)=1024\cdot 21=21\,504$$ $\diamond$

Breve introducción a la aritmética modular

La operación módulo, para dos números enteros $a$ y $b$, se define como $a \mod b := \text{residuo}( a \div b)$, entendiendo la división como la división euclídea: dados dos números enteros $a$ y $b\neq 0$, entonces existen otros dos números enteros, únicos, $q,r$, tales que $a=b\cdot q+r \wedge 0\le r \lt |b|$ . Así por ejemplo, $15 \mod 7 =1$, ya que $8=7\cdot 2+1$; $-6 \mod 7 = 1$ ya que $-6=7\cdot (-1) +1$.

Decimos que dados dos números enteros $m$ y $n$ son congruentes entre sí con respecto a un determinado número entero $p$, y lo escribimos $m \equiv n (\mod p)$ si $m \mod p = n \mod p$, esto es, si las divisiones euclídeas $m \div p$ y $n \div p$ tienen el mismo resto. Así, por ejemplo, $15 \equiv 22 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = 22 \mod 7$. Tambien podemos decir, entre otras muchas cosas al rspecto, que $15 \equiv -6 (\mod 7)$ ya que $15 \mod 7 = 1 = -6 \mod 7$. Démonos cuenta que fácilmente podemos ir escribiendo infinitos enteros congruentes con $15$ sumando (o restando) siete unidades —y lo mismo con cualquier otro número que sepamos que es congruente con $14$ módulo $7$—; así, si tomamos, por ejemplo, $15$, encontramos que: $22,29,36,\ldots$ y $8,1,-6.-13\,\ldots$ son números congruentes con $15$ módulo $7$.

Esta operación módulo es muy importante en la teoría elemental de números (o matemática discreta): es necesaria en los cálculos con congruencias, en la resolución de ecuaciones diofánticas (ecuaciones con coeficientes enteros con solución en el conjunto de los números enteros) y, también, juegan un papel de importantísimo para entender y probar proposiciones en teoría de números (matemática discreta). Como ejemplo práctico podemos subrayar que la matemática discreta es fundamental en el diseño de algoritmos y en programación.

Muchas calculadoras científicas incorporan esta operación, y la secuencia de tecleo suele ser (para el ejemplo que comento): [15 $\rightarrow$ mod $\rightarrow$ 7 $\rightarrow$ = (o EXE)], presentándose el resultado, $1$, en pantalla.

La congruencia cumple dos propiedades básicas. Si $a_1 \equiv a_2 (\mod p)$ y $b_1 \equiv b_2 (\mod p)$, entonces:

• $a_1+b_1 \equiv a_2 + b_2 \,(\mod p)$
• $a_{1}\cdot b_{1} \equiv a_{2} \cdot b_{2}\, (\mod p)$

Por ejemplo, $26 \equiv 19 (\mod 7)$, ya que $26 \mod 7 = 5 = 19 \mod 7$, y $27 \equiv 13 (\mod 7)$ puesto que $27 \mod 7 = 6 = 13 \mod 7$. Por tanto:

• $26+27 \equiv 19+13 (\mod 7)$, esto es, $53 \equiv 32 (\mod 7)$; en efecto: $53 \mod 7 = 4 = 32 \mod 7$
• $26\cdot 27 \equiv 19\cdot 13 (\mod 7)$, esto es, $702 \equiv 247 (\mod 7)$; en efecto: $702 \mod 7 = 2 = 247 \mod 7$

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Combinatoria. Un ejemplo de aplicación del principio (de recuento) de independencia

¿Cuántas señales se pueden hacer con los sonidos de $7$ campanas (cada una con tañidos distintos a los de las demás) si la primer sonido tiene que ser siempre el tañido más agudo?.

Al fijar el primer sonido, podemos elegir el segundo de $7-1=6$ maneras distintas; el tercero, de $7-2=5$ maneras; el cuarto, de $7-3=4$ maneras; el quinto, de $7-4=3$ maneras; el sexto, de $7-5=2$ maneras, y el séptimo de $7-6=1$ sola manera. Luego, por el principio de independencia (o multiplicativo), podremos emitir un total de $6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1 =720$ señales. $\diamond$