Manejo de un conjunto de condiciones para llegar a la solución

ENUNCIADO. En una sala de cine hay $100$ butacas, y menos de $70$ están vacías. Sabemos también que: dos terceras partes de los espectadores son mujeres, y que cinco octavas partes de los espectadores están llorando; por otra parte, también se sabe que los que no están llorando son un número impar. ¿ Cuántas personas hay en el cine ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de espectadores; por $m$ al núméro de mujeres que hay entre los espectadores y por $r$ al número de espectadores que están llorando. Así pues, $x\succ 30$; por otra parte: $m=\dfrac{2}{3}\,x$, luego $x = \dfrac{m}{2} \cdot 3 \Rightarrow x \in (\dot {3} )$; además, $r=\dfrac{5}{8}\,x$ con lo cual $x=\dfrac{r}{5}\cdot 8 \Rightarrow x \in (\dot{8})$. De lo anterior se deduce que $x \in ( \dot{\text{m.c.m}(3,8) } ) \cap \{x\in \mathbb{Z}^{+}: 30 \prec x \le 100\}$, es decir, $x \in \{48,72,96\}$.

Tengamos en cuenta ahora que el número de espectadores que no están llorando es igual a $\left(1-\dfrac{5}{8}\right)\,x$, esto es, $\dfrac{3}{8}\,x$ y que, por tanto, a cada uno de los tres elementos del conjunto 'posible número de espectadores', $\{48,72,96\}$, que hemos deducido arriba, le corresponde el número de espectadores que no están llorando del siguiente conjunto (en el mismo orden) $\{\dfrac{3}{8}\cdot 48=18,\dfrac{3}{8}\cdot 72=27,\dfrac{3}{8}\cdot 96=36\}$.

Veamos, finalmente, cuál de estos tres números corresponde a la solución pedida: el primer valor posible en relación a los espectadores que no están llorando es, $18$, que queda descartado, por ser número par, al igual que el tercero; sólo el segundo valor, $27$, es impar ( que corresponde a $x=72$). Por lo tanto el número de espectadores pedido es $72$.
$\square$