domingo, 29 de noviembre de 2020
domingo, 22 de noviembre de 2020
lunes, 16 de noviembre de 2020
lunes, 9 de noviembre de 2020
lunes, 2 de noviembre de 2020
ESO3B ( e. académicas ) Ejercicios con polinomios
Ejercicio 4 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $a,b$ y $c$ para que los siguientes polinomios sean iguales: $P(x)=a\,x^4-8\,x^3+4\,x-b$ y $Q(x)=5\,x^4-8\,x^3-c\,x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Comparando los términos del mismo grado, vemos que: $a=5$, $c=0$ y $-b=6 \Rightarrow b=-6$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 5 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Suma los siguientes polinomios: $P(x)=7\,x^4-6\,x^3+5\,x-3$ y $Q(x)=x^4+8\,x^3-x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Sumando los términos del mismo semejantes ( del mismo grado ) se obtiene el siguiente polinomio suma: $8x^4+2x^3-x^2+9x+3$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 6 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el opuesto de los siguientes polinomios: $P(x)=5\,x^5-7\,x^3+4\,x-1$ y $Q(x)=-x^4+6\,x^3-x^2+5\,x+1$
SOLUCIÓN.
$\text{Opuesto}(P(x))=-5x^5+7x^3-4x+1$ y $\text{Opuesto}(Q(x))=-x^4-6x^3+x^2-5x-1$
Nota: Recordemos que la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio nulo.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 7 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula $P(x)-Q(x)$:
$P(x)=5\,x^4+x^3-2\,x^2-5$
$Q(x)=7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2$
SOLUCIÓN.
$P(x)-Q(x)=(5\,x^4+x^3-2\,x^2-5)-(7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2)=$
$=-2x^4+x^3+3x^2-3x-7$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 8 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por:
$I(t)=t^2-3\,t+5$
$G(t)=t^2-4t+9$
Halla la expresión $B(t)$ de los beneficios.
SOLUCIÓN.
El polinomio que expresa los beneficios en función del número de año - llamémosle $B(t)$ -, es igual a $I(t)-G(t)= t^2-3\,t+5 - ( t^2-4t+9 ) = t - 4$, y, según la información del enunciado, sus valores se expresan en millones de euros.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 9 de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Multiplica los polinomios $P(x)=2\,x^3-3\,x+5$ y $Q(x)=3\,x^2+x-4$
SOLUCIÓN.
Con la instrucción de GeoGebra, $\text{Desarrolla}((2\,x^3-3\,x+5)\cdot (3\,x^2+x-4))$, puedes comprobar que el resultado que tienes que obtener ( aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma ) es el polinomio $6x^5+2x^4-17x^3+12x^2+17x-20$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 13, apartados b y c, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla y simplifica:
b) $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
c) $(6\,x-2/3)^2$
SOLUCIÓN.
b)
Por la identidad notable $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$, vemos que $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=x^2-(\sqrt{5})^2=x^2-5$
c)
Por la identidad notable $(m+n)^2=m^2-2mn+n^2$, vemos que $(6\,x-2/3)^2=(6x)^2-2\cdot 6 \cdot (2/3)x+(2/3)^2=36x^2-8x+9/4$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 15, apartado b, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla: b) $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)$
SOLUCIÓN.
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma para deshacer el paréntesis, se obtiene: $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)=-2\cdot 7\,x^3\,x^4+2\cdot 4\,x^3\,x^2= -14\,x^7+8\,x^5$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 17, apartado a, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza: a) $12\,x^4+8\,x^3$
SOLUCIÓN.
Extrayendo factor común conseguimos la factorización en un sólo paso (en este caso concreto): $12\,x^4+8\,x^3=4x^3\,(3x+2)$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Halla el valor de $a,b$ y $c$ para que los siguientes polinomios sean iguales: $P(x)=a\,x^4-8\,x^3+4\,x-b$ y $Q(x)=5\,x^4-8\,x^3-c\,x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Comparando los términos del mismo grado, vemos que: $a=5$, $c=0$ y $-b=6 \Rightarrow b=-6$.
$\square$
ENUNCIADO.
Suma los siguientes polinomios: $P(x)=7\,x^4-6\,x^3+5\,x-3$ y $Q(x)=x^4+8\,x^3-x^2+4\,x+6$
SOLUCIÓN.
Sumando los términos del mismo semejantes ( del mismo grado ) se obtiene el siguiente polinomio suma: $8x^4+2x^3-x^2+9x+3$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el opuesto de los siguientes polinomios: $P(x)=5\,x^5-7\,x^3+4\,x-1$ y $Q(x)=-x^4+6\,x^3-x^2+5\,x+1$
SOLUCIÓN.
$\text{Opuesto}(P(x))=-5x^5+7x^3-4x+1$ y $\text{Opuesto}(Q(x))=-x^4-6x^3+x^2-5x-1$
Nota: Recordemos que la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio nulo.
$\square$
ENUNCIADO.
Calcula $P(x)-Q(x)$:
$P(x)=5\,x^4+x^3-2\,x^2-5$
$Q(x)=7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2$
SOLUCIÓN.
$P(x)-Q(x)=(5\,x^4+x^3-2\,x^2-5)-(7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2)=$
$=-2x^4+x^3+3x^2-3x-7$
$\square$
ENUNCIADO.
Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por:
$I(t)=t^2-3\,t+5$
$G(t)=t^2-4t+9$
Halla la expresión $B(t)$ de los beneficios.
SOLUCIÓN.
El polinomio que expresa los beneficios en función del número de año - llamémosle $B(t)$ -, es igual a $I(t)-G(t)= t^2-3\,t+5 - ( t^2-4t+9 ) = t - 4$, y, según la información del enunciado, sus valores se expresan en millones de euros.
$\square$
ENUNCIADO.
Multiplica los polinomios $P(x)=2\,x^3-3\,x+5$ y $Q(x)=3\,x^2+x-4$
SOLUCIÓN.
Con la instrucción de GeoGebra, $\text{Desarrolla}((2\,x^3-3\,x+5)\cdot (3\,x^2+x-4))$, puedes comprobar que el resultado que tienes que obtener ( aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma ) es el polinomio $6x^5+2x^4-17x^3+12x^2+17x-20$
$\square$
ENUNCIADO.
Desarrolla y simplifica:
b) $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
c) $(6\,x-2/3)^2$
SOLUCIÓN.
b)
Por la identidad notable $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$, vemos que $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=x^2-(\sqrt{5})^2=x^2-5$
c)
Por la identidad notable $(m+n)^2=m^2-2mn+n^2$, vemos que $(6\,x-2/3)^2=(6x)^2-2\cdot 6 \cdot (2/3)x+(2/3)^2=36x^2-8x+9/4$
$\square$
ENUNCIADO.
Desarrolla: b) $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)$
SOLUCIÓN.
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma para deshacer el paréntesis, se obtiene: $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)=-2\cdot 7\,x^3\,x^4+2\cdot 4\,x^3\,x^2= -14\,x^7+8\,x^5$ $\square$
ENUNCIADO.
Factoriza: a) $12\,x^4+8\,x^3$
SOLUCIÓN.
Extrayendo factor común conseguimos la factorización en un sólo paso (en este caso concreto): $12\,x^4+8\,x^3=4x^3\,(3x+2)$
$\square$
ESO3B ( e. académicas ) - A vueltas con los ejercicios de polinomios
Ejercicio 18, apartado b, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza: b) $P(x)=5\,x^3+20\,x^2+20\,x$
SOLUCIÓN.
En este caso, extrayendo factor común, podemos escribir un primer paso de factorización: $P(x)=x\,(5\,x^2+20\,x+20)$. Las raíces de $5\,x^2+20\,x+20$ son también raíces de $P(x)$, así que imponiendo la condición para encontrar raíces: $5\,x^2+20\,x+20=0 \Leftrightarrow x=-2$, con multiplicidad $2$, con lo cual: $5\,x^2+20\,x+20=5\,(x-(-2))$. Así pues: $P(x)=5\,x\,(x+2)^2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 21 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=6\,x^5+2\,x^4-17\,x^3+20\,x-25$ por $Q(x)=2\,x^3-3\,x+5$
SOLUCIÓN.
Después de aplicar el algoritmo general de la división, podéis comprobar con GeoGebra si habéis obtenido el resultado correcto:
Nota: Recordad también que, por el teorema de la división con polinomios, ha de cumplirse que: 1) el polinomio dividendo ha de ser igual al producto del polinomio divisor y del polinomio cociente más el polinomio resto, y 2) el grado del polinomio resto ha de ser menor que el grado del polinomio divisor. $\square$
-oOo-
Ejercicio 22 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=x^4-6\,x^3+9\,x+10$ por $Q(x)=x-3$
SOLUCIÓN.
En el caso de esta división, en el que el polinomio divisor es de primer grado y mónico, podemos emplear el algoritmo de Ruffini. Podéis comprobar con GeoGebra que el resultado que obtengáis ha de ser:
$\square$
-oOo-
Ejercicio 26 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla un polinomio tal que al dividirlo por $2\,x^3-5\,x+1$ se obtenga de cociente $x^2+3\,x-4$ y de resto $-7\,x^2+x+8$
SOLUCIÓN.
Por el teorema de la división, el polinomio pedido ha de ser igual a $$(2\,x^3-5\,x+1)\cdot (x^2+3\,x-4)+(-7\,x^2+x+8)=2x^5+6x^4-13x^3-21x^2+24x+4$, lo cual podéis comprobar con la ayuda de GeoGebra:
$\square$
-oOo-
Ejercicio 27 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x)=x^5-3\,x^4+6\,x^2-8$ para los siguientes valores: a) $x:=0$, y b) $x:=1$
SOLUCIÓN.
$P(0)=0^5-3\cdot 0^4+6\cdot 0^2-8=-8$
$P(1)=1^5-3\cdot 1^4+6\cdot 1^2-8=1-3-6-8=-16$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 29 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio $P(x)=x^4+3\,x^3-5\,x-7$ por $x+3$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x+3)$, que podemos expresar de la forma $P(x) \div (x-(-3))$ es igual al valor del polinomio para $x:=-3$, esto es, $P(-3)=(-3)^4+3\cdot (-3)^3-5\cdot (-3)-7=8$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 32 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Averigua si $2$ o $-3$, son raíces del polinomio $P(x)=x^3+x^2-9\,x-9$
SOLUCIÓN.
Recordemos que un valor de $x$, $x:=r$, es raíz de un polinomio $P(x)$ si $P(r)=0$. Entonces, como $P(2)=2^3+2^2-9\cdot 2-9=8+4-9=3\neq 0$, se deduce que $2$ no es raíz de $P(x)$; y como $P(-3)=(-3)^3+(-3)^2-9\cdot (-3)-9=-27+9+27-9=0$, se deduce que $-3$ es raíz de $P(x)$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 35 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=x^3-4\,x^2+k\,x+10$ sea divisible por $x-1$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x-1)$ es igual a $P(1)=1^3-4\cdot 1^2+k\cdot 1+10=k+7$; y, al objeto de que, $x-1$ sea divisor de $P(x)$, esto es, que $P(x)$ sea múltiplo de $x-1$, es necesario que dicho resto sea igual a $0$, luego lo será si $k=-7$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 61 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea $7$:
$$(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$$
SOLUCIÓN.
Es sabido ( por teorema del resto ) que el resto de la división del polinomio $P(x)=x^4+k\,x^2-5\,x+6$ entre $x+1$ ( que puede escribirse de la forma $x-(-1)$ ) es igual a $P(-1)=(-1)^4+k\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+6=k+12$. Como dicho resto ha de ser igual a $7$, entonces $7=k+12 \Rightarrow k=-5$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 64 de la página 99 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
Factoriza:
a) $24\,x^3-18\,x^2$
b) $2\,x^3+12\,x^2+18\,x$
c) $9\,x^2-4$
SOLUCIÓN.
a)
Extrayendo factor común, podemos escribir $24\,x^3-18\,x^2=6x^2\,(4x-3)$, con lo cual el polinomio pedido queda ya factorizado.
b)
Extrayendo factor común, podemos escribir $2\,x^3+12\,x^2+18\,x=2x\,(x^2+6x+9)$; y, como el segundo factor ( por la identidad notable del cuadrado del binomio ) es igual a $(x+3)^2$, el polinomio factorizado queda de la forma $2x\,(x+3)^2$
c)
Calculando las raíces del polinomio: $9\,x^2-4=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\pm\dfrac{2}{3}$, luego, por el teorema del factor: $9\,x^2-4=9\,(x-2/3)(x+2/3)$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Factoriza: b) $P(x)=5\,x^3+20\,x^2+20\,x$
SOLUCIÓN.
En este caso, extrayendo factor común, podemos escribir un primer paso de factorización: $P(x)=x\,(5\,x^2+20\,x+20)$. Las raíces de $5\,x^2+20\,x+20$ son también raíces de $P(x)$, así que imponiendo la condición para encontrar raíces: $5\,x^2+20\,x+20=0 \Leftrightarrow x=-2$, con multiplicidad $2$, con lo cual: $5\,x^2+20\,x+20=5\,(x-(-2))$. Así pues: $P(x)=5\,x\,(x+2)^2$
$\square$
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=6\,x^5+2\,x^4-17\,x^3+20\,x-25$ por $Q(x)=2\,x^3-3\,x+5$
SOLUCIÓN.
Después de aplicar el algoritmo general de la división, podéis comprobar con GeoGebra si habéis obtenido el resultado correcto:
Nota: Recordad también que, por el teorema de la división con polinomios, ha de cumplirse que: 1) el polinomio dividendo ha de ser igual al producto del polinomio divisor y del polinomio cociente más el polinomio resto, y 2) el grado del polinomio resto ha de ser menor que el grado del polinomio divisor. $\square$
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=x^4-6\,x^3+9\,x+10$ por $Q(x)=x-3$
SOLUCIÓN.
En el caso de esta división, en el que el polinomio divisor es de primer grado y mónico, podemos emplear el algoritmo de Ruffini. Podéis comprobar con GeoGebra que el resultado que obtengáis ha de ser:
$\square$
ENUNCIADO.
Halla un polinomio tal que al dividirlo por $2\,x^3-5\,x+1$ se obtenga de cociente $x^2+3\,x-4$ y de resto $-7\,x^2+x+8$
SOLUCIÓN.
Por el teorema de la división, el polinomio pedido ha de ser igual a $$(2\,x^3-5\,x+1)\cdot (x^2+3\,x-4)+(-7\,x^2+x+8)=2x^5+6x^4-13x^3-21x^2+24x+4$, lo cual podéis comprobar con la ayuda de GeoGebra:
$\square$
ENUNCIADO.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x)=x^5-3\,x^4+6\,x^2-8$ para los siguientes valores: a) $x:=0$, y b) $x:=1$
SOLUCIÓN.
$P(0)=0^5-3\cdot 0^4+6\cdot 0^2-8=-8$
$P(1)=1^5-3\cdot 1^4+6\cdot 1^2-8=1-3-6-8=-16$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio $P(x)=x^4+3\,x^3-5\,x-7$ por $x+3$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x+3)$, que podemos expresar de la forma $P(x) \div (x-(-3))$ es igual al valor del polinomio para $x:=-3$, esto es, $P(-3)=(-3)^4+3\cdot (-3)^3-5\cdot (-3)-7=8$
$\square$
ENUNCIADO.
Averigua si $2$ o $-3$, son raíces del polinomio $P(x)=x^3+x^2-9\,x-9$
SOLUCIÓN.
Recordemos que un valor de $x$, $x:=r$, es raíz de un polinomio $P(x)$ si $P(r)=0$. Entonces, como $P(2)=2^3+2^2-9\cdot 2-9=8+4-9=3\neq 0$, se deduce que $2$ no es raíz de $P(x)$; y como $P(-3)=(-3)^3+(-3)^2-9\cdot (-3)-9=-27+9+27-9=0$, se deduce que $-3$ es raíz de $P(x)$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=x^3-4\,x^2+k\,x+10$ sea divisible por $x-1$
SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x-1)$ es igual a $P(1)=1^3-4\cdot 1^2+k\cdot 1+10=k+7$; y, al objeto de que, $x-1$ sea divisor de $P(x)$, esto es, que $P(x)$ sea múltiplo de $x-1$, es necesario que dicho resto sea igual a $0$, luego lo será si $k=-7$.
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea $7$:
$$(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$$
SOLUCIÓN.
Es sabido ( por teorema del resto ) que el resto de la división del polinomio $P(x)=x^4+k\,x^2-5\,x+6$ entre $x+1$ ( que puede escribirse de la forma $x-(-1)$ ) es igual a $P(-1)=(-1)^4+k\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+6=k+12$. Como dicho resto ha de ser igual a $7$, entonces $7=k+12 \Rightarrow k=-5$
$\square$
ENUNCIADO.
Factoriza:
a) $24\,x^3-18\,x^2$
b) $2\,x^3+12\,x^2+18\,x$
c) $9\,x^2-4$
SOLUCIÓN.
a)
Extrayendo factor común, podemos escribir $24\,x^3-18\,x^2=6x^2\,(4x-3)$, con lo cual el polinomio pedido queda ya factorizado.
b)
Extrayendo factor común, podemos escribir $2\,x^3+12\,x^2+18\,x=2x\,(x^2+6x+9)$; y, como el segundo factor ( por la identidad notable del cuadrado del binomio ) es igual a $(x+3)^2$, el polinomio factorizado queda de la forma $2x\,(x+3)^2$
c)
Calculando las raíces del polinomio: $9\,x^2-4=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\pm\dfrac{2}{3}$, luego, por el teorema del factor: $9\,x^2-4=9\,(x-2/3)(x+2/3)$
$\square$
ESO3B ( e. académicas ) - Profundizando en los polinomios
Ejercicio 62 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un triángulo rectángulos cuyos catetos miden $2x+1$ y $x$ ( metros ), respectivamente.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo cuyos lados son los catetos de dicho triángulo rectángulo, luego el área pedida es $A(x)=\dfrac{1}{2}\,x\,(2x+1)$, viene expresada en $\text{m}^2$.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 80 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un trapecio equilátero cuyas bases miden $x+1$ y $x-1$ ( metros ) y su altura ( distancia perpendicular entre las bases ) es $x$ ( metros ).
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura ( distancia perpendicular entre ellas ), luego $A(x)=\dfrac{(x+1)+(x-1)}{2}\,x$, que podemos simplificar de la forma $A(x)=x^2$ ( expresado en metros cuadrados ). $\square$
-oOo-
Ejercicio 69 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Observa la gráfica de la ecuación $P(x)=0$, donde $P(x)=x^2-4$ - te sugiero que utilices GeoGebra para ver la gráfica - y escribe las raíces de dicho polinomio a la vista de dicha gráfica.
Ejercicio 72 de la página 99 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Se construye una caja de envalaje a partir de una cartulina rectangular cuyos lados tienen longitudes de $6$ metros y $10$ metros, respectivamente. Para ello, recortamos un cuadrado en cada esquina de $x$ metros de lado y así, haciendo cuatro dobleces para elevar las caras laterales, pegamos después dichos cortes. Calcula el área del desarrollo plano de la caja y también su capacidad ( expresada en litros ).
-oOo-
Ejercicio 68 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el polinomio que da el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual es $x$ ( en metros ) y de altura igual a $x+5$ metros.
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un triángulo es igual al producto del lado que tomamos como base por la longitud de su altura y dividido todo ello entre $2$, por tanto $A(x)=\dfrac{x\,(x+5)}{2}$ expresado en unidades de longitud al cuadrado, que, en este caso, es en $\text{m}^2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 67 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea igual a $7$: $(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$
SOLUCIÓN
Por el teorema del resto sabemos que el resto pedido es igual al valor del polinomio dividendo para $x:=-1$ ( que es el término independiente del polinomio divisor, $x-k$, de grado 1, y siendo $x+1=x-(-1))$, éste es $-1$, luego $7=P(-1)=(-1)^4+k\,(-1)^2-5\cdot (-1)+6$, con lo cual, $7=1+k+5+6 \Rightarrow k=-5$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un triángulo rectángulos cuyos catetos miden $2x+1$ y $x$ ( metros ), respectivamente.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo cuyos lados son los catetos de dicho triángulo rectángulo, luego el área pedida es $A(x)=\dfrac{1}{2}\,x\,(2x+1)$, viene expresada en $\text{m}^2$.
$\square$
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un trapecio equilátero cuyas bases miden $x+1$ y $x-1$ ( metros ) y su altura ( distancia perpendicular entre las bases ) es $x$ ( metros ).
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura ( distancia perpendicular entre ellas ), luego $A(x)=\dfrac{(x+1)+(x-1)}{2}\,x$, que podemos simplificar de la forma $A(x)=x^2$ ( expresado en metros cuadrados ). $\square$
ENUNCIADO.
Observa la gráfica de la ecuación $P(x)=0$, donde $P(x)=x^2-4$ - te sugiero que utilices GeoGebra para ver la gráfica - y escribe las raíces de dicho polinomio a la vista de dicha gráfica.
Ejercicio 72 de la página 99 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Se construye una caja de envalaje a partir de una cartulina rectangular cuyos lados tienen longitudes de $6$ metros y $10$ metros, respectivamente. Para ello, recortamos un cuadrado en cada esquina de $x$ metros de lado y así, haciendo cuatro dobleces para elevar las caras laterales, pegamos después dichos cortes. Calcula el área del desarrollo plano de la caja y también su capacidad ( expresada en litros ).
ENUNCIADO.
Halla el polinomio que da el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual es $x$ ( en metros ) y de altura igual a $x+5$ metros.
SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un triángulo es igual al producto del lado que tomamos como base por la longitud de su altura y dividido todo ello entre $2$, por tanto $A(x)=\dfrac{x\,(x+5)}{2}$ expresado en unidades de longitud al cuadrado, que, en este caso, es en $\text{m}^2$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea igual a $7$: $(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$
SOLUCIÓN
Por el teorema del resto sabemos que el resto pedido es igual al valor del polinomio dividendo para $x:=-1$ ( que es el término independiente del polinomio divisor, $x-k$, de grado 1, y siendo $x+1=x-(-1))$, éste es $-1$, luego $7=P(-1)=(-1)^4+k\,(-1)^2-5\cdot (-1)+6$, con lo cual, $7=1+k+5+6 \Rightarrow k=-5$
$\square$
ESO3A ( e. aplicadas ) - Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Ejercicio 19, apartado a, de la página 93 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}2\,x-y=0\\x+y=3\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos una ecuación compatible que no depende de $y$, esto es $3x=3$, de donde se desprende que $x=1$; por tanto, sustituyendo este resultado en cualesquiera de las dos ecuaciones originales ( pongamos que en la primera ) se calcula el valor que le corresponde a la otra incógnita: $2\cdot 1-y=0 \Rightarrow y=2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 20, apartado e, de la página 93 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\6\,x+4\,y=6\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación podemos escribir el sistema de la forma: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\3\,x+2\,y=3\end{matrix}\right.$$ y al encontrarnos con que las dos ecuaciones son las mismas, el sistema equivalente se reduce a una única ecuación con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado: existen infinitos pares de valores $(x,y)$ como solución: $$\{\left(x,\dfrac{3(1-x)}{2}\right): \,\text{para cualquier valor de x} \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 21 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Manuel compra 2 kilogramos de manzanas y 3 kilogramos de plátanos, y paga $11,5$ euros. En la misma frutería, Andrea compra $3$ kilogramos de manzanas y $2$ kilogramos de plátanos, y paga $11$ euros. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer el precio ( euros por kilogramo ) de cada tipos de fruta.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $m$ al precio ( coste por kilogramo ) de las manzanas, y por $p$ al precio de los plátanos. Entonces, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}2m+3p=11,5 \\ 3m+2p=11\end{matrix}\right.$$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 23 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Las edades de Carlos y Lucía suman $24$ años. Si a la edad de Carlos le restaras $5$ años y se los añadieses a la edad de Lucía, entonces la edad de Lucía sería el doble de la de Carlos. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolvíendolo, permite conocer la edad que tiene cada uno.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ la edad de Carlos y por $\ell$ la edad de Lucía. Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}c+\ell=24 \\ \ell+5 = 2\,(c-5)\end{matrix}\right.$$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 28 de la página 96 del libro de texto base ( ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Una empresa envasa $3\,600$ kilogramos de jabón para lavadores en recipientes de $3$ kilogramos y de $8$ kilogramos. Si se han utilizado en total $700$ recipientes. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer cuántos envases de cada tipos se han utilizado.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número de envases de $3$ kilogramos y por $y$ el número de envases de $8$ kilogramos.Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}x+y=700 \\ 3x+8y=3\,600\end{matrix}\right.$$ $\square$
-oOo-
Ejercicio 30 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Escribe el sistema de ecuaciones mediante el cual ( resolviéndolo ) podemos determinar la longitud de las diagonales de un rombo, sabiendo que difieren en $4$ unidades y su razón es $\dfrac{3}{4}$
SOLUCIÓN.
Sean $x$ e $y$ dichas diagonales, donde $x \succ y$. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir: $\left\{\begin{matrix}x-y=4 \\ \dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}2\,x-y=0\\x+y=3\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos una ecuación compatible que no depende de $y$, esto es $3x=3$, de donde se desprende que $x=1$; por tanto, sustituyendo este resultado en cualesquiera de las dos ecuaciones originales ( pongamos que en la primera ) se calcula el valor que le corresponde a la otra incógnita: $2\cdot 1-y=0 \Rightarrow y=2$
$\square$
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\6\,x+4\,y=6\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación podemos escribir el sistema de la forma: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\3\,x+2\,y=3\end{matrix}\right.$$ y al encontrarnos con que las dos ecuaciones son las mismas, el sistema equivalente se reduce a una única ecuación con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado: existen infinitos pares de valores $(x,y)$ como solución: $$\{\left(x,\dfrac{3(1-x)}{2}\right): \,\text{para cualquier valor de x} \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
ENUNCIADO.
Manuel compra 2 kilogramos de manzanas y 3 kilogramos de plátanos, y paga $11,5$ euros. En la misma frutería, Andrea compra $3$ kilogramos de manzanas y $2$ kilogramos de plátanos, y paga $11$ euros. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer el precio ( euros por kilogramo ) de cada tipos de fruta.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $m$ al precio ( coste por kilogramo ) de las manzanas, y por $p$ al precio de los plátanos. Entonces, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}2m+3p=11,5 \\ 3m+2p=11\end{matrix}\right.$$ $\square$
ENUNCIADO.
Las edades de Carlos y Lucía suman $24$ años. Si a la edad de Carlos le restaras $5$ años y se los añadieses a la edad de Lucía, entonces la edad de Lucía sería el doble de la de Carlos. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolvíendolo, permite conocer la edad que tiene cada uno.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ la edad de Carlos y por $\ell$ la edad de Lucía. Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}c+\ell=24 \\ \ell+5 = 2\,(c-5)\end{matrix}\right.$$ $\square$
ENUNCIADO.
Una empresa envasa $3\,600$ kilogramos de jabón para lavadores en recipientes de $3$ kilogramos y de $8$ kilogramos. Si se han utilizado en total $700$ recipientes. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer cuántos envases de cada tipos se han utilizado.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número de envases de $3$ kilogramos y por $y$ el número de envases de $8$ kilogramos.Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}x+y=700 \\ 3x+8y=3\,600\end{matrix}\right.$$ $\square$
ENUNCIADO.
Escribe el sistema de ecuaciones mediante el cual ( resolviéndolo ) podemos determinar la longitud de las diagonales de un rombo, sabiendo que difieren en $4$ unidades y su razón es $\dfrac{3}{4}$
SOLUCIÓN.
Sean $x$ e $y$ dichas diagonales, donde $x \succ y$. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir: $\left\{\begin{matrix}x-y=4 \\ \dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.$
$\square$
ESO3A ( e. aplicadas ) - Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones
Elige una de las siguientes opciones. Tienes que enviar únicamente el trabajo de la opción que hayas elegido.
OPCIÓN 1.
Ejercicio 79 de la página 101 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
En una prueba tipo test hay $20$ preguntas. Por cada respuesta correcta se obtienen $1$ punto. Si la respuesta es incorrecta se disminuye la nota en $0,2$ puntos. La calificación de Alejandro ha sido de $12,8$ puntos, ¿ cuántas preguntas ha respondido correctamente y cuántas ha fallado ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $c$ el número de preguntas que se han contestado correctamente, y por $i$ al número de preguntas que se han contestado incorrectamente. Entonces: $c+i=20 \Rightarrow i=20-c \quad \quad (1)$ y, por otra parte, $c-0,2\,i=12,8 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $c-0,2\,(20-c)=12,8$, esto es $c-4+0,2\,c=12,8$, con lo cual $1,2\,c=16,8 \Rightarrow c=\dfrac{16,8}{1,2}=14$ (preguntas contestadas correctamente), y por tanto $i=20-14=6$ ( preguntas contestadas incorrectamente ).
$\square$
-oOo-
OPCIÓN 2.
Ejercicio 91 de la página 102 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Halla la nota que han obtenido Lucas y Andrea sabiendo que entre los dos suman $13$ puntos y que, si Lucas hubiese obtenido un $20\,\%$ menos de la nota y Andrea un $28\,\%$ más, los dos habrían obtenido la misma nota.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $\ell$ la nota de Lucas y por $a$ la nota de Andrea, entonces: $\ell+a=13 \Rightarrow \ell=13-a \quad \quad (1)$; y, por otra parte $\dfrac{100-20}{100}\,\ell = \dfrac{100+28}{100}\,a$, que es lo mismo que $80\,\ell=128\,a \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $80\,(13-a)=128\,a$, esto es $1040-80\,a=128\,a$ con lo cual $1040=208\,a \Rightarrow a = \dfrac{1040}{208}=5$ puntos, y por tanto $\ell=13-5=8$ puntos.
$\square$
-oOo-
OPCIÓN 1.
Ejercicio 79 de la página 101 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
En una prueba tipo test hay $20$ preguntas. Por cada respuesta correcta se obtienen $1$ punto. Si la respuesta es incorrecta se disminuye la nota en $0,2$ puntos. La calificación de Alejandro ha sido de $12,8$ puntos, ¿ cuántas preguntas ha respondido correctamente y cuántas ha fallado ?.
SOLUCIÓN.
Designemos por $c$ el número de preguntas que se han contestado correctamente, y por $i$ al número de preguntas que se han contestado incorrectamente. Entonces: $c+i=20 \Rightarrow i=20-c \quad \quad (1)$ y, por otra parte, $c-0,2\,i=12,8 \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $c-0,2\,(20-c)=12,8$, esto es $c-4+0,2\,c=12,8$, con lo cual $1,2\,c=16,8 \Rightarrow c=\dfrac{16,8}{1,2}=14$ (preguntas contestadas correctamente), y por tanto $i=20-14=6$ ( preguntas contestadas incorrectamente ).
$\square$
OPCIÓN 2.
Ejercicio 91 de la página 102 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Halla la nota que han obtenido Lucas y Andrea sabiendo que entre los dos suman $13$ puntos y que, si Lucas hubiese obtenido un $20\,\%$ menos de la nota y Andrea un $28\,\%$ más, los dos habrían obtenido la misma nota.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $\ell$ la nota de Lucas y por $a$ la nota de Andrea, entonces: $\ell+a=13 \Rightarrow \ell=13-a \quad \quad (1)$; y, por otra parte $\dfrac{100-20}{100}\,\ell = \dfrac{100+28}{100}\,a$, que es lo mismo que $80\,\ell=128\,a \quad \quad (2)$. Sustituyendo (1) en (2) llegamos a $80\,(13-a)=128\,a$, esto es $1040-80\,a=128\,a$ con lo cual $1040=208\,a \Rightarrow a = \dfrac{1040}{208}=5$ puntos, y por tanto $\ell=13-5=8$ puntos.
$\square$
ESO 3A ( e. aplicadas ) - Sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicio 1 de la página 86 del libro de texto base ( ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Investiga si $x=1$, e $y=6$ son valores que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+4\,=27$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable por dichos valores, encontramos: $3\cdot 1+4=7\neq 27$, luego $1$ no es solución de la ecuación; por otra parte, $3\cdot 6+4=22\neq 27$, luego $6$ tampoco es solución de la ecuación.
$\square$
-oOo-
Ejercicio 3 de la página 86 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Halla cuatro parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+y=18$.
SOLUCIÓN.
Despejando $y$ en la ecuación dada, podemos escribir $y=18-3x$; así que dando cuatro valores arbitrarios a $x$, pongamos que $0$, $1$, $2$ y $3$, y calculando el valor de $y$ que les corresponde, encontramos: $(0,18)$, $(1,15)$, $(2,12)$ y $(3,9)$. Obviamente, de esta manera, podemos encontrar infinitas parejas de números, por lo que decimos que la solución de la ecuación pedida está formada por infinitos pares de valores "x" e "y".$\square$
-oOo-
Ejercicio 8 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible determinado que tenga como solución $x=-3$ e $y=7$, y explica cómo has razonado.
SOLUCIÓN.
Si el sistema del que estamos hablando es compatible determinado, su solución, que es un punto del plano cartesiano, viene dado por la intersección de dos rectas que se cortan. Hay un número infinito de rectas que se cortan en el mismo punto. A continuación, vamos a encontrar únicamente una de éstas.
Supongamos una recta $r\equiv y=mx+k$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ 1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=8/3\\ k=1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $r$ es $y=\dfrac{8}{3}\,x+1$, que podemos expresar también de la forma $8x-3y=-3$
Supongamos ahora otra recta $s\equiv y=m'x+k'$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,-1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ -1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=2\\ k=-1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $s$ es $y=2\,x-1$, que podemos expresar también de la forma $2x-y=1$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 9 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible indeterminado y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema compatible indeterminado con dos incógnitas equivale a una sola ecuación ( con esas dos incógnitas ); pongamos que dicha ecuación sea $x+y=1$ ( que recordemos que representa una recta en el plano cartesiano ). Entonces, cualquier otra ecuación que describa la misma recta, formará con la primera un sistema compatible indeterminado; una ecuación tal, puede ser, por ejemplo, $3(x+y)=3\cdot 1$, esto es $3x+3y=3$; así, un sistema compatible indeterminado es: $\left\{\begin{matrix}x+y=1\\3x+3y=3\end{matrix}\right.$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 10 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistma incompatible y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema es incompatible ( carece de solución ) si sus ecuaciones son contradictorias; así por ejemplo, el sistema $\left\{\begin{matrix}x-y=1\\x-y=2\end{matrix}\right.$ es incompatible, pues de él se desprende una contradicción, esto es, algo absurdo: $1=2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 12, apartado b, de la página 90 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones ( por sustitución ): $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2}+y=2 \\ \\ x-y=10\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando las dos ecuaciones, miembro a miembro, se llega a la siguiente ecuación: $x+\dfrac{1}{2}\,x=12$, que es compatible con las dos ecuaciones originales, luego $\dfrac{3}{2}\,x=12 \Rightarrow x=8$, y, por tanto, como $y=x-10$, se tiene que el valor que le corresponde a $y=x-10$ (despejándola de la segunda ecuación original) es $y=8-10=-2$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 17, apartado c, de la página 91 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema ( por reducción ): $$\left\{\begin{matrix}x-6\,y=16 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Multiplicando por $2$ ambos miembros de la primera ecuación, podemos escribir el siguiente sistema equivalente $\left\{\begin{matrix}2x-12\,y=32 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$, y, sumando miembro a miembros ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación compatible con las ecuaciones originales $5x=20$, de donde se obtiene $x=4$. Sustituyendo ahora este resultado en la primera ecuación original: $5-6y=16$, con lo cual $6y=-11 \Rightarrow y=-\dfrac{11}{6}$
$\square$
-oOo-
ENUNCIADO.
Investiga si $x=1$, e $y=6$ son valores que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+4\,=27$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable por dichos valores, encontramos: $3\cdot 1+4=7\neq 27$, luego $1$ no es solución de la ecuación; por otra parte, $3\cdot 6+4=22\neq 27$, luego $6$ tampoco es solución de la ecuación.
$\square$
ENUNCIADO.
Halla cuatro parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+y=18$.
SOLUCIÓN.
Despejando $y$ en la ecuación dada, podemos escribir $y=18-3x$; así que dando cuatro valores arbitrarios a $x$, pongamos que $0$, $1$, $2$ y $3$, y calculando el valor de $y$ que les corresponde, encontramos: $(0,18)$, $(1,15)$, $(2,12)$ y $(3,9)$. Obviamente, de esta manera, podemos encontrar infinitas parejas de números, por lo que decimos que la solución de la ecuación pedida está formada por infinitos pares de valores "x" e "y".$\square$
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible determinado que tenga como solución $x=-3$ e $y=7$, y explica cómo has razonado.
SOLUCIÓN.
Si el sistema del que estamos hablando es compatible determinado, su solución, que es un punto del plano cartesiano, viene dado por la intersección de dos rectas que se cortan. Hay un número infinito de rectas que se cortan en el mismo punto. A continuación, vamos a encontrar únicamente una de éstas.
Supongamos una recta $r\equiv y=mx+k$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ 1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=8/3\\ k=1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $r$ es $y=\dfrac{8}{3}\,x+1$, que podemos expresar también de la forma $8x-3y=-3$
Supongamos ahora otra recta $s\equiv y=m'x+k'$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,-1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ -1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=2\\ k=-1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $s$ es $y=2\,x-1$, que podemos expresar también de la forma $2x-y=1$
$\square$
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible indeterminado y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema compatible indeterminado con dos incógnitas equivale a una sola ecuación ( con esas dos incógnitas ); pongamos que dicha ecuación sea $x+y=1$ ( que recordemos que representa una recta en el plano cartesiano ). Entonces, cualquier otra ecuación que describa la misma recta, formará con la primera un sistema compatible indeterminado; una ecuación tal, puede ser, por ejemplo, $3(x+y)=3\cdot 1$, esto es $3x+3y=3$; así, un sistema compatible indeterminado es: $\left\{\begin{matrix}x+y=1\\3x+3y=3\end{matrix}\right.$
$\square$
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistma incompatible y explica por qué lo es.
SOLUCIÓN.
Un sistema es incompatible ( carece de solución ) si sus ecuaciones son contradictorias; así por ejemplo, el sistema $\left\{\begin{matrix}x-y=1\\x-y=2\end{matrix}\right.$ es incompatible, pues de él se desprende una contradicción, esto es, algo absurdo: $1=2$
$\square$
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones ( por sustitución ): $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2}+y=2 \\ \\ x-y=10\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando las dos ecuaciones, miembro a miembro, se llega a la siguiente ecuación: $x+\dfrac{1}{2}\,x=12$, que es compatible con las dos ecuaciones originales, luego $\dfrac{3}{2}\,x=12 \Rightarrow x=8$, y, por tanto, como $y=x-10$, se tiene que el valor que le corresponde a $y=x-10$ (despejándola de la segunda ecuación original) es $y=8-10=-2$
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ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema ( por reducción ): $$\left\{\begin{matrix}x-6\,y=16 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Multiplicando por $2$ ambos miembros de la primera ecuación, podemos escribir el siguiente sistema equivalente $\left\{\begin{matrix}2x-12\,y=32 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$, y, sumando miembro a miembros ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación compatible con las ecuaciones originales $5x=20$, de donde se obtiene $x=4$. Sustituyendo ahora este resultado en la primera ecuación original: $5-6y=16$, con lo cual $6y=-11 \Rightarrow y=-\dfrac{11}{6}$
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