ESO3B ( e. académicas ) - A vueltas con los ejercicios de polinomios

Ejercicio 18, apartado b, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza: b)   $P(x)=5\,x^3+20\,x^2+20\,x$
SOLUCIÓN.
En este caso, extrayendo factor común, podemos escribir un primer paso de factorización: $P(x)=x\,(5\,x^2+20\,x+20)$. Las raíces de $5\,x^2+20\,x+20$ son también raíces de $P(x)$, así que imponiendo la condición para encontrar raíces: $5\,x^2+20\,x+20=0 \Leftrightarrow x=-2$, con multiplicidad $2$, con lo cual: $5\,x^2+20\,x+20=5\,(x-(-2))$. Así pues: $P(x)=5\,x\,(x+2)^2$
$\square$


-oOo- Ejercicio 21 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=6\,x^5+2\,x^4-17\,x^3+20\,x-25$ por $Q(x)=2\,x^3-3\,x+5$
SOLUCIÓN.
Después de aplicar el algoritmo general de la división, podéis comprobar con GeoGebra si habéis obtenido el resultado correcto:

Nota: Recordad también que, por el teorema de la división con polinomios, ha de cumplirse que: 1) el polinomio dividendo ha de ser igual al producto del polinomio divisor y del polinomio cociente más el polinomio resto, y 2) el grado del polinomio resto ha de ser menor que el grado del polinomio divisor. $\square$

-oOo- Ejercicio 22 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Divide $P(x)=x^4-6\,x^3+9\,x+10$ por $Q(x)=x-3$
SOLUCIÓN.
En el caso de esta división, en el que el polinomio divisor es de primer grado y mónico, podemos emplear el algoritmo de Ruffini. Podéis comprobar con GeoGebra que el resultado que obtengáis ha de ser:

$\square$

-oOo- Ejercicio 26 de la página 93 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla un polinomio tal que al dividirlo por $2\,x^3-5\,x+1$ se obtenga de cociente $x^2+3\,x-4$ y de resto $-7\,x^2+x+8$
SOLUCIÓN.
Por el teorema de la división, el polinomio pedido ha de ser igual a $$(2\,x^3-5\,x+1)\cdot (x^2+3\,x-4)+(-7\,x^2+x+8)=2x^5+6x^4-13x^3-21x^2+24x+4$, lo cual podéis comprobar con la ayuda de GeoGebra:

$\square$


-oOo- Ejercicio 27 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x)=x^5-3\,x^4+6\,x^2-8$ para los siguientes valores: a) $x:=0$, y b) $x:=1$
SOLUCIÓN.
$P(0)=0^5-3\cdot 0^4+6\cdot 0^2-8=-8$
$P(1)=1^5-3\cdot 1^4+6\cdot 1^2-8=1-3-6-8=-16$
$\square$


-oOo- Ejercicio 29 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla, sin hacer la división, el resto de dividir el polinomio $P(x)=x^4+3\,x^3-5\,x-7$ por $x+3$

SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x+3)$, que podemos expresar de la forma $P(x) \div (x-(-3))$ es igual al valor del polinomio para $x:=-3$, esto es, $P(-3)=(-3)^4+3\cdot (-3)^3-5\cdot (-3)-7=8$
$\square$


-oOo- Ejercicio 32 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Averigua si $2$ o $-3$, son raíces del polinomio $P(x)=x^3+x^2-9\,x-9$

SOLUCIÓN.
Recordemos que un valor de $x$, $x:=r$, es raíz de un polinomio $P(x)$ si $P(r)=0$. Entonces, como $P(2)=2^3+2^2-9\cdot 2-9=8+4-9=3\neq 0$, se deduce que $2$ no es raíz de $P(x)$; y como $P(-3)=(-3)^3+(-3)^2-9\cdot (-3)-9=-27+9+27-9=0$, se deduce que $-3$ es raíz de $P(x)$
$\square$


-oOo- Ejercicio 35 de la página 95 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el polinomio $P(x)=x^3-4\,x^2+k\,x+10$ sea divisible por $x-1$

SOLUCIÓN.
Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división $P(x) \div (x-1)$ es igual a $P(1)=1^3-4\cdot 1^2+k\cdot 1+10=k+7$; y, al objeto de que, $x-1$ sea divisor de $P(x)$, esto es, que $P(x)$ sea múltiplo de $x-1$, es necesario que dicho resto sea igual a $0$, luego lo será si $k=-7$.
$\square$


-oOo- Ejercicio 61 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea $7$:
$$(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$$
SOLUCIÓN.
Es sabido ( por teorema del resto ) que el resto de la división del polinomio $P(x)=x^4+k\,x^2-5\,x+6$ entre $x+1$ ( que puede escribirse de la forma $x-(-1)$ ) es igual a $P(-1)=(-1)^4+k\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+6=k+12$. Como dicho resto ha de ser igual a $7$, entonces $7=k+12 \Rightarrow k=-5$
$\square$


-oOo- Ejercicio 64 de la página 99 del libro de texto base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO.
Factoriza:
a)   $24\,x^3-18\,x^2$
b)   $2\,x^3+12\,x^2+18\,x$
c)   $9\,x^2-4$

SOLUCIÓN.
a)
Extrayendo factor común, podemos escribir $24\,x^3-18\,x^2=6x^2\,(4x-3)$, con lo cual el polinomio pedido queda ya factorizado.
b)
Extrayendo factor común, podemos escribir $2\,x^3+12\,x^2+18\,x=2x\,(x^2+6x+9)$; y, como el segundo factor ( por la identidad notable del cuadrado del binomio ) es igual a $(x+3)^2$, el polinomio factorizado queda de la forma $2x\,(x+3)^2$
c)
Calculando las raíces del polinomio: $9\,x^2-4=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\pm\dfrac{2}{3}$, luego, por el teorema del factor: $9\,x^2-4=9\,(x-2/3)(x+2/3)$
$\square$


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