ESO3B ( e. académicas ) Ejercicios con polinomios

Ejercicio 4 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $a,b$ y $c$ para que los siguientes polinomios sean iguales: $P(x)=a\,x^4-8\,x^3+4\,x-b$ y $Q(x)=5\,x^4-8\,x^3-c\,x^2+4\,x+6$

SOLUCIÓN.
Comparando los términos del mismo grado, vemos que: $a=5$, $c=0$ y $-b=6 \Rightarrow b=-6$.
$\square$


-oOo- Ejercicio 5 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Suma los siguientes polinomios: $P(x)=7\,x^4-6\,x^3+5\,x-3$ y $Q(x)=x^4+8\,x^3-x^2+4\,x+6$

SOLUCIÓN.
Sumando los términos del mismo semejantes ( del mismo grado ) se obtiene el siguiente polinomio suma: $8x^4+2x^3-x^2+9x+3$
$\square$


-oOo- Ejercicio 6 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el opuesto de los siguientes polinomios: $P(x)=5\,x^5-7\,x^3+4\,x-1$ y $Q(x)=-x^4+6\,x^3-x^2+5\,x+1$

SOLUCIÓN.
$\text{Opuesto}(P(x))=-5x^5+7x^3-4x+1$ y $\text{Opuesto}(Q(x))=-x^4-6x^3+x^2-5x-1$
Nota: Recordemos que la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio nulo.
$\square$


-oOo- Ejercicio 7 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula $P(x)-Q(x)$:
$P(x)=5\,x^4+x^3-2\,x^2-5$
$Q(x)=7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2$

SOLUCIÓN.
$P(x)-Q(x)=(5\,x^4+x^3-2\,x^2-5)-(7\,x^4-5\,x^2+3\,x+2)=$
    $=-2x^4+x^3+3x^2-3x-7$
$\square$


-oOo- Ejercicio 8 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva funcionando, vienen dados por:
$I(t)=t^2-3\,t+5$
$G(t)=t^2-4t+9$
Halla la expresión $B(t)$ de los beneficios.

SOLUCIÓN.
El polinomio que expresa los beneficios en función del número de año - llamémosle $B(t)$ -, es igual a $I(t)-G(t)= t^2-3\,t+5 - ( t^2-4t+9 ) = t - 4$, y, según la información del enunciado, sus valores se expresan en millones de euros.
$\square$


-oOo- Ejercicio 9 de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Multiplica los polinomios $P(x)=2\,x^3-3\,x+5$ y $Q(x)=3\,x^2+x-4$

SOLUCIÓN.
Con la instrucción de GeoGebra, $\text{Desarrolla}((2\,x^3-3\,x+5)\cdot (3\,x^2+x-4))$, puedes comprobar que el resultado que tienes que obtener ( aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma ) es el polinomio $6x^5+2x^4-17x^3+12x^2+17x-20$
$\square$


-oOo- Ejercicio 13, apartados b y c, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla y simplifica:
b)   $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$
c)   $(6\,x-2/3)^2$

SOLUCIÓN.
b)
Por la identidad notable $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$, vemos que $(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=x^2-(\sqrt{5})^2=x^2-5$
c)
Por la identidad notable $(m+n)^2=m^2-2mn+n^2$, vemos que $(6\,x-2/3)^2=(6x)^2-2\cdot 6 \cdot (2/3)x+(2/3)^2=36x^2-8x+9/4$
$\square$


-oOo- Ejercicio 15, apartado b, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla: b) $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)$

SOLUCIÓN.
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma para deshacer el paréntesis, se obtiene: $-2\,x^3\,(7\,x^4-4\,x^2)=-2\cdot 7\,x^3\,x^4+2\cdot 4\,x^3\,x^2= -14\,x^7+8\,x^5$ $\square$


-oOo- Ejercicio 17, apartado a, de la página 91 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza: a) $12\,x^4+8\,x^3$

SOLUCIÓN.
Extrayendo factor común conseguimos la factorización en un sólo paso (en este caso concreto): $12\,x^4+8\,x^3=4x^3\,(3x+2)$
$\square$


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