ESO3B ( e. académicas ) - Profundizando en los polinomios

Ejercicio 62 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un triángulo rectángulos cuyos catetos miden $2x+1$ y $x$ ( metros ), respectivamente.

SOLUCIÓN.
El área de un triángulo rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo cuyos lados son los catetos de dicho triángulo rectángulo, luego el área pedida es $A(x)=\dfrac{1}{2}\,x\,(2x+1)$, viene expresada en $\text{m}^2$.
$\square$


-oOo- Ejercicio 80 de la página 100 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Escribe el polinomio que da el área de un trapecio equilátero cuyas bases miden $x+1$ y $x-1$ ( metros ) y su altura ( distancia perpendicular entre las bases ) es $x$ ( metros ).

SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura ( distancia perpendicular entre ellas ), luego $A(x)=\dfrac{(x+1)+(x-1)}{2}\,x$, que podemos simplificar de la forma $A(x)=x^2$ ( expresado en metros cuadrados ). $\square$


-oOo- Ejercicio 69 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Observa la gráfica de la ecuación $P(x)=0$, donde $P(x)=x^2-4$ - te sugiero que utilices GeoGebra para ver la gráfica - y escribe las raíces de dicho polinomio a la vista de dicha gráfica.


Ejercicio 72 de la página 99 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Se construye una caja de envalaje a partir de una cartulina rectangular cuyos lados tienen longitudes de $6$ metros y $10$ metros, respectivamente. Para ello, recortamos un cuadrado en cada esquina de $x$ metros de lado y así, haciendo cuatro dobleces para elevar las caras laterales, pegamos después dichos cortes. Calcula el área del desarrollo plano de la caja y también su capacidad ( expresada en litros ).


-oOo- Ejercicio 68 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el polinomio que da el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual es $x$ ( en metros ) y de altura igual a $x+5$ metros.

SOLUCIÓN.
Es sabido que el área de un triángulo es igual al producto del lado que tomamos como base por la longitud de su altura y dividido todo ello entre $2$, por tanto $A(x)=\dfrac{x\,(x+5)}{2}$ expresado en unidades de longitud al cuadrado, que, en este caso, es en $\text{m}^2$
$\square$


-oOo- Ejercicio 67 de la página 99 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor de $k$ para que el resto de la siguiente división sea igual a $7$: $(x^4+k\,x^2-5\,x+6)\div (x+1)$

SOLUCIÓN
Por el teorema del resto sabemos que el resto pedido es igual al valor del polinomio dividendo para $x:=-1$ ( que es el término independiente del polinomio divisor, $x-k$, de grado 1, y siendo $x+1=x-(-1))$, éste es $-1$, luego $7=P(-1)=(-1)^4+k\,(-1)^2-5\cdot (-1)+6$, con lo cual, $7=1+k+5+6 \Rightarrow k=-5$
$\square$


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