ESO 3A ( e. aplicadas ) - Sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicio 1 de la página 86 del libro de texto base ( ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Investiga si $x=1$, e $y=6$ son valores que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+4\,=27$

SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable por dichos valores, encontramos: $3\cdot 1+4=7\neq 27$, luego $1$ no es solución de la ecuación; por otra parte, $3\cdot 6+4=22\neq 27$, luego $6$ tampoco es solución de la ecuación.
$\square$


-oOo- Ejercicio 3 de la página 86 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Halla cuatro parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución de la ecuación lineal con dos incógnitas $3\,x+y=18$.

SOLUCIÓN.
Despejando $y$ en la ecuación dada, podemos escribir $y=18-3x$; así que dando cuatro valores arbitrarios a $x$, pongamos que $0$, $1$, $2$ y $3$, y calculando el valor de $y$ que les corresponde, encontramos: $(0,18)$, $(1,15)$, $(2,12)$ y $(3,9)$. Obviamente, de esta manera, podemos encontrar infinitas parejas de números, por lo que decimos que la solución de la ecuación pedida está formada por infinitos pares de valores "x" e "y".$\square$


-oOo- Ejercicio 8 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible determinado que tenga como solución $x=-3$ e $y=7$, y explica cómo has razonado.

SOLUCIÓN.
Si el sistema del que estamos hablando es compatible determinado, su solución, que es un punto del plano cartesiano, viene dado por la intersección de dos rectas que se cortan. Hay un número infinito de rectas que se cortan en el mismo punto. A continuación, vamos a encontrar únicamente una de éstas.

Supongamos una recta $r\equiv y=mx+k$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ 1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=8/3\\ k=1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $r$ es $y=\dfrac{8}{3}\,x+1$, que podemos expresar también de la forma $8x-3y=-3$

Supongamos ahora otra recta $s\equiv y=m'x+k'$ que pase por el punto $(-3,7)$ y por otro punto cualquiera, pongamos que $(0,-1)$, entonces tiene que cumplirse que $\left\{\begin{matrix}-7=-3m+k\\ -1=0\cdot m+k\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}m=2\\ k=-1\end{matrix}\right.$ luego la ecuación de $s$ es $y=2\,x-1$, que podemos expresar también de la forma $2x-y=1$
$\square$


-oOo- Ejercicio 9 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistema compatible indeterminado y explica por qué lo es.

SOLUCIÓN.
Un sistema compatible indeterminado con dos incógnitas equivale a una sola ecuación ( con esas dos incógnitas ); pongamos que dicha ecuación sea $x+y=1$ ( que recordemos que representa una recta en el plano cartesiano ). Entonces, cualquier otra ecuación que describa la misma recta, formará con la primera un sistema compatible indeterminado; una ecuación tal, puede ser, por ejemplo, $3(x+y)=3\cdot 1$, esto es $3x+3y=3$; así, un sistema compatible indeterminado es: $\left\{\begin{matrix}x+y=1\\3x+3y=3\end{matrix}\right.$
$\square$


-oOo- Ejercicio 10 de la página 88 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Pon un ejemplo de sistma incompatible y explica por qué lo es.

SOLUCIÓN.
Un sistema es incompatible ( carece de solución ) si sus ecuaciones son contradictorias; así por ejemplo, el sistema $\left\{\begin{matrix}x-y=1\\x-y=2\end{matrix}\right.$ es incompatible, pues de él se desprende una contradicción, esto es, algo absurdo: $1=2$
$\square$

-oOo- Ejercicio 12, apartado b, de la página 90 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones ( por sustitución ): $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2}+y=2 \\ \\ x-y=10\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando las dos ecuaciones, miembro a miembro, se llega a la siguiente ecuación: $x+\dfrac{1}{2}\,x=12$, que es compatible con las dos ecuaciones originales, luego $\dfrac{3}{2}\,x=12 \Rightarrow x=8$, y, por tanto, como $y=x-10$, se tiene que el valor que le corresponde a $y=x-10$ (despejándola de la segunda ecuación original) es $y=8-10=-2$
$\square$


-oOo- Ejercicio 17, apartado c, de la página 91 del libro de texto base.
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema ( por reducción ): $$\left\{\begin{matrix}x-6\,y=16 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Multiplicando por $2$ ambos miembros de la primera ecuación, podemos escribir el siguiente sistema equivalente $\left\{\begin{matrix}2x-12\,y=32 \\ \\ 3\,x+12\,y=-12\end{matrix}\right.$, y, sumando miembro a miembros ambas ecuaciones, llegamos a la siguiente ecuación compatible con las ecuaciones originales $5x=20$, de donde se obtiene $x=4$. Sustituyendo ahora este resultado en la primera ecuación original: $5-6y=16$, con lo cual $6y=-11 \Rightarrow y=-\dfrac{11}{6}$
$\square$


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