ESO3A ( e. aplicadas ) - Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Ejercicio 19, apartado a, de la página 93 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}2\,x-y=0\\x+y=3\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos una ecuación compatible que no depende de $y$, esto es $3x=3$, de donde se desprende que $x=1$; por tanto, sustituyendo este resultado en cualesquiera de las dos ecuaciones originales ( pongamos que en la primera ) se calcula el valor que le corresponde a la otra incógnita: $2\cdot 1-y=0 \Rightarrow y=2$
$\square$


-oOo- Ejercicio 20, apartado e, de la página 93 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Resuelve el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\6\,x+4\,y=6\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ los dos miembros de la segunda ecuación podemos escribir el sistema de la forma: $$\left\{\begin{matrix}3\,x+2\,y=3\\3\,x+2\,y=3\end{matrix}\right.$$ y al encontrarnos con que las dos ecuaciones son las mismas, el sistema equivalente se reduce a una única ecuación con $2$ incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado: existen infinitos pares de valores $(x,y)$ como solución: $$\{\left(x,\dfrac{3(1-x)}{2}\right): \,\text{para cualquier valor de x} \in \mathbb{R}\}$$
$\square$


-oOo- Ejercicio 21 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Manuel compra 2 kilogramos de manzanas y 3 kilogramos de plátanos, y paga $11,5$ euros. En la misma frutería, Andrea compra $3$ kilogramos de manzanas y $2$ kilogramos de plátanos, y paga $11$ euros. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer el precio ( euros por kilogramo ) de cada tipos de fruta.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $m$ al precio ( coste por kilogramo ) de las manzanas, y por $p$ al precio de los plátanos. Entonces, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}2m+3p=11,5 \\ 3m+2p=11\end{matrix}\right.$$ $\square$


-oOo- Ejercicio 23 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado).
ENUNCIADO.
Las edades de Carlos y Lucía suman $24$ años. Si a la edad de Carlos le restaras $5$ años y se los añadieses a la edad de Lucía, entonces la edad de Lucía sería el doble de la de Carlos. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolvíendolo, permite conocer la edad que tiene cada uno.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $c$ la edad de Carlos y por $\ell$ la edad de Lucía. Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}c+\ell=24 \\ \ell+5 = 2\,(c-5)\end{matrix}\right.$$ $\square$


-oOo- Ejercicio 28 de la página 96 del libro de texto base ( ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Una empresa envasa $3\,600$ kilogramos de jabón para lavadores en recipientes de $3$ kilogramos y de $8$ kilogramos. Si se han utilizado en total $700$ recipientes. Escribe el sistema de ecuaciones que, resolviéndolo, permite conocer cuántos envases de cada tipos se han utilizado.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número de envases de $3$ kilogramos y por $y$ el número de envases de $8$ kilogramos.Entonces, según la información del enunciado: $$\left\{\begin{matrix}x+y=700 \\ 3x+8y=3\,600\end{matrix}\right.$$ $\square$


-oOo- Ejercicio 30 de la página 96 del libro de texto base (ligeramente modificado ).
ENUNCIADO.
Escribe el sistema de ecuaciones mediante el cual ( resolviéndolo ) podemos determinar la longitud de las diagonales de un rombo, sabiendo que difieren en $4$ unidades y su razón es $\dfrac{3}{4}$

SOLUCIÓN.
Sean $x$ e $y$ dichas diagonales, donde $x \succ y$. Entonces, según la información del enunciado, podemos escribir: $\left\{\begin{matrix}x-y=4 \\ \dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\right.$
$\square$


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