Ecuaciones cuadráticas con una incógnita

He seleccionado los casos básicos que se nos presentan a la hora de resolver una ecuación cuadrática (la última es la ecuación cuadrática completa, con todos los términos: el de grado dos, el de grado uno, y el de grado cero). Los coeficientes que aparecen en todos ellos son números reales distintos de cero. Veámoslos:

1. $x^2-m^2=0 \Leftrightarrow (x-m)(x+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-m = 0 \Leftrightarrow x=m \\ x+m=0 \Leftrightarrow x=-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $m$ y $-m$.
2. $(x-n)^2-m^2=0 \Leftrightarrow ((x-n)-m)((x-n)+m)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-n-m = 0 \Leftrightarrow x=n+m\\ x-n+m=0 \Leftrightarrow x=n-m \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $n+m$ y $n-m$.
3. $(\ell\,x-n)^2-m=0 \Leftrightarrow ((\ell\,x-n)-\sqrt{m})((\ell\,x-n)+\sqrt{m})=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \ell\,x-n-\sqrt{m} = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}\\ x-n+\sqrt{m}=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{n-\sqrt{a}}{\ell} \end{matrix}\right.$, luego la solución de la ecuación pedida viene dada por estos dos valores: $\dfrac{n-\sqrt{m}}{\ell}$ y $\dfrac{n+\sqrt{m}}{\ell}$.
4. La ecuación cuadrática completa, $ax^2+bx+c=0$, podemos escribirla de la forma $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$ (dividiendo ambos miembros por el coeficiente $a$ del término de grado dos), y, por consiguiente, también llegamos a $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$. De ahí, $\left(x+\dfrac{b}{2a} \right)^2-\left( \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \right)^2=0$; ahora bien, por la identidad algebraica sobre la diferencia de los cuadrados, podemos expresar la última igualdad de la forma $$\left(x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)\,\left(x+\dfrac{b}{2a} - \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \,\right)=0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}=- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ x+\dfrac{b}{2a}- \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}= \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}+ \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$$ Es decir, $$x=-\dfrac{b}{2a}\pm \sqrt{ \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}}=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{ \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2}}= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

-oOo- Un caso particularmente sencillo a la hora de resolver la ecuación $ax^2+bx+c=0$ es aquel en que $a=1$; $b,c \in \mathbb{Q}$, y $c$ puede factorizarse de la forma $c=p\,q$, donde $p,q\in \mathbb{Q}$ (números racionales), y de modo que, además, $b=p+q$. Así, al ser $b=p+q$, la ecuación original, puede escribirse de la forma $x^2+(p+q)\,x+pq=0$, esto es, $x^2 + px + qx+pq=0 \Leftrightarrow x(x + p) + q(x+p)=0 \Leftrightarrow (x+q)(x+p)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+q=0 \Leftrightarrow x=-q \\ x+p=0 \Leftrightarrow x=-p\end{matrix}\right.$.

Veamos un par de ejemplos:

1. En la ecuación $x^2+6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=4\cdot 2$ y $6=4+2$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2+2x+4x+8=0$, esto es, $x(x+2)+4(x+2)=0$; por tanto, $(x+2)(x+4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x+4=0 \Leftrightarrow x=-4\end{matrix}\right.$
2. En la ecuación $x^2-6x+8=0$, démonos cuenta de que $8=-4\cdot (-2)$ y $6=-4+(-2)$, luego podemos reescribir dicha ecuación de la forma $x^2-2x-4x+8=0$, esto es, $x(x-2)-4(x-2)=0$; por tanto, $(x-2)(x-4)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \Leftrightarrow x=2 \\ x-4=0 \Leftrightarrow x=4\end{matrix}\right.$

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Contando estrellas: una estimación del número de estrellas visibles (observables a simple vista) en la totalidad de la cúpula celeste

Imaginémonos contemplando el cielo estrellado, totalmente despejado de nubes, en una noche sin luna, lejos de la contaminación lumínica de las ciudades. ¿Cómo podemos contar el número de estrellas visibles en estas condiciones?

Un sencillo método que encontré en un libro de divulgación astronómica (Atlas básico de astronomía, Parramón Ediciones, Barcelona, 2001) para obtener una estimación de dicha cantidad consiste en dibujar una circunferéncia de $6\,\text{cm}$ de radio en una trozo de cartulina negra, y recortarla con cuidado, con ayuda de un cúter, para observar el cielo através de dicho agujero; para ello, lo colocaremos a una distancia de nuestro ojos de $30\,\text{cm}$, para lo cual nos ayudaremos de un hilito de esa longitud atado con un nudito de gaza al reverso de la cartulina (la opuesta a la que enfretamos a nuestros ojos) y lo mantendremos tenso mientras observemos. Así podremos contar el número de estrellas que quedan dentro del círculo, observando el cielo en una dirección arbitraria; pues bien, al parecer, dicha cantidad de estrellas representa aproximadamente el $1\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista en la totalidad de la esfere celeste —¿te animas a justificar esta afirmación mediante razonamientos geométricos?—. Si repetimos la observación observando hacia $10$ regiones distintas del cielo y sumamos las estrellas contabilidazadas cada una de las veces obtendremos por tanto el $10\,\%$ de las estrellas visibles a simple vista de la totalidad de la esfera celeste, aproximadamente. Finalmente, bastará multiplicar dicha cantidad por $10$ para estimar el $100\,\%$ de las estrellas, esto es, la totalidad de las estrellas visibles a simple vista. Si eres una persona curiosa, te propongo que pongas en práctica este sencillo experimento de recuento. $\diamond$

Ejemplo de una ecuació compatible indeterminada

¿Qué podemos decir de la siguiente igualdad algebraica? $$(x-1)^2=(1-x)^2$$

Veamos:
  $(x-1)^2=(1-x)^2$
    $(x-1)^2-(1-x)^2=0$
      $(x-1)^2-((-1)(1-x))^2=0$, ya que $(-1)^2=1$ y por tanto $(1-x)^2=((-1)(1-x))^2$
        $(x-1)^2-(x-1)^2=0$
          $0=0$
LLegados aquí, nos damos cuenta de que no obtenemos información alguna acerca de cuáles son los valores (y no otros) de la solución, luego cualquier número real en sustitución de $x$ satisface la igualdad, luego se trata de una ecuación compatible (hay soluciones) pero indeterminada (todos los números reales son solución de dicha igualdad). También podemos decir que esta igualdad, $(x-1)^2=(1-x)^2$, es una identidad, ya que hemos visto que en cada miembro de la igualdad $(x-1)^2=(1-x)^2$ decimos lo mismo, expresándolo sin embargo de dos maneras (equivalentes) distintas. $\diamond$

Dos cálculos con potencias

Calculemos $2^{{1^{2^{3^{2}}}}}$. Para ello, recordemos que tenemos que empezar a calcular las potencias de arriba abajo: $2^{{1^{2^{3^{2}}}}}=2^{1^{2^{9}}}=2^{1^{512}}=2^1=2$

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Vamos a calcular ahora $2^{0^{1^{2^{3^{4}}}}}$

Observemos que $0^{1^{2^{3^{2}}}}=0 \quad (1)$; no hace falta que calculemos $1^{2^{3^{2}}}$ pues en la base de la potencia (1) habrá un $0$ sea cual sea el exponente. Entonces, $2^{0^{1^{2^{3^{2}}}}}=2^0=1$. $\diamond$

Un ejercicio de resolución de una ecuación empleando una identidad notable conocida para escribirla de una manera apropiada para encontrar fácilmente su solución

Resolvamos la siguiente ecuación, valíendonos de alguna de las identidades notables que ya conocemos $$x^2=(x-2)^2$$

  $x^2=(x-2)^2$
    $x^2-(x-2)^2=0$
      $(x-(x-2))(x+(x-2))=0$, donde usamos la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, siendo aquí $a:=x$ y $b:=x-2$
        $2(2x-2)=0 \Leftrightarrow 2x-2=0 \Leftrightarrow x=1$

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Evocación acuática de la parábola

Parque de Santander, Chamberí, Madrid. Finales de mayo de 2023

Sucesiones con el emulador de la calculadora NumWorks

En este vídeo muestro cómo utilizar el emulador de la calculadora NumWorks (lo puedes descargar gratuitamente siguiendo este enlace) para editar la fórmula de una sencilla sucesión para, a continuación, visualizar la tabla y la gráfica de la misma.

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Acerca de los calendarios luni-solares y solares. Del calendario babilonio al calendario gregoriano

En este breve artículo hablo sucintamente de los dos tipos de calendarios: luni-solares y solares. Hay, y ha habido, muchos calendarios de tipo luni-solar (el c. chino, el c. hebreo, el c. inca, el babilonio, ...). En concreto, me centraré únicamente en el babilonio (como muestra de calendario empleado, en Mesopotamia, en la antigüedad), para dar paso a los calendarios solares, como es el que actualmente se utiliza en Occidente.

Si nos remontamos a las civilizaciones mesopotámicas, cabe hablar del calendario babilonio (tercer milenio antes de nuestra era), que era de tipo luni-solar y por tanto tenía en cuenta tanto las fases de la Luna como la duración del año solar sidéreo (intervalo de tiempo que media entre dos pasos consecutivos del Sol por la posición de una determinada estrella en la bóveda celeste). Un calendario luni-solar, por tanto, al describir, también, la sucesión de las cuatro estaciones, predice cuál es la constelación que se puede localizar cerca de dónde se observe una determinada fase de la Luna. Eso era importante para organizar las siembras y las cosechas.

Por otra parte, cada mes —como parte del año— del calendario babilonio tenía la duración que viene determinada por el ciclo sinódico de la Luna (lunación) —el período sinódico es el tiempo que tarda el objeto en volver a aparecer en el mismo punto del cielo respecto al sol, cuando se observa desde la Tierra—, que es de $29$ o $30$ días ($29,5$ días, aproximadamente, de promedio). Así, cada año que constaba de 12 meses lunares, y cada uno de ellos comenzaba en luna nueva. Como el año solar era unos $10$ días más largo que el intervalo de $12$ meses lunares, se añadía este número de días insertando un mes adicional para ajustarlo a la duración de éste, lo cual, claro ésta, tenía el invonveniente de producir cambios en las fechas de las efemérides de un ciclo con respecto al otro. Para salvar estos invonvenientes, las civilizaciones posteriores abandonaron los calendarios lunares y luni-solares, y se empezaron a usar los calendarios solares.

Los egipcios utilizaban un calendario solar de $365$ días. Después, la civilización romana utilizó el calendario juliano, también de tipo solar. El calendario juliano fue elaborado en tiempos de Julio César (46 a.C.), y se basaba en la duración, más precisa, del año trópico (ciclo sidéreo), de $365,25$ días (aproximadamente), y corresponde al intervalo de tiempo empleado por el Sol en completar su órbita aparente en torno a La Tierra —se mide como el tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por el punto Aries o equinoccio de primavera—. Posteriormente, el el año 1582, y como es bien sabido, el calendario juliano fue sustituido por actual, el calendario gregoriano (nombre debido a su promotor, el Papa Gregorio XIII), con los cambios oportunos introducidos al objeto de corregir los inconvenientes del calendario juliano que estaban relacionados con la falta de ajuste en la periodicidad de determinados eventos anuales de la liturgia, en relación con algunas efemérides del año astronómico.

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Referencias

  [1] R.M. Ros Ferré, El cielo nocturno, RBA, Barcelona, 2017.
  [2] vv. aa., https://es.wikipedia.org/wiki/Calendario, Wikipedia, 2023.