Encontrando los divisores de un número natural

    Si us agrada programar una mica és un bon exercici escriure una senzilla línia d'instruccions amb MAXIMA per escriure la llista de nombres divisors d'un nombre natural donat:
    (%i1) for i:1 thru 30 do (if mod(30,i)=0 then print(i));
Obtindrem ràpidament tots el divisors: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Potser convindreu que no té molt d'interès perquè, de fet, el nombre que hem posat és molt petit. Ara bé, i si fos, posem pel cas, 1452 ? Deu n'hi do de la feinada que tindrem si ho fem amb paper i llapis, fins i tot, fent-ho d'una manera exhaustiva amb l'ajut d'un diagrama d'arbre tal com vaig explicar en un article anterior. Modificant la dada, obtindrem el resultat amb un dit i fet
    (%i2) for i:1 thru 1452 do (if mod(1452,i)=0 then print(i));
... 1 2 3 4 6 11 12 22 33 44 66 121 132 242 363 484 726 1452

I encara molt millor si escrivim una funció amb un paràmetre d'entrada per no haver d'escriure cada vegada la instrucció repetitiva:

    (%i3) troba_divisors(n):=(
for i:1 thru n do (if mod(n,i)=0 then print(i))
)$


Funció que farem servir concretant el nombre del qual volem trobar els divisors:

    (%i4) troba_divisors(235456);

Aquest és el resultat del càlcul:
1 2 4 8 13 16 26 32 52 64 104 208 283 416 566 832 1132 2264 3679 4528 7358 9056 14716 18112 29432 58864 117728 235456

Val a dir, però, que MAXIMA disposa ja d'una funció predefinida divisors(). No cal programar-ne un altra. El que m'ha mogut a escriure-la és només per exposar un exercici elemental de programació. La funció predefinida és més eficaç que la que he escrit perquè l'algorisme emprat per MAXIMA és molt millor. Comproveu-ho. Us adonareu que el resultat amb la funció divisors() s'obté molt més ràpidament i, a més, estructurat com una llista:


    (%i5) divisors(235456);

    (%o5){1,2,4,8,13,16,26,32,52,64,104,208,283,416,566,832,
1132,2264,3679,4528,7358,9056,14716,18112,29432,58864,117728,235456}

[autoría]

Sea n un número natural, ¿cuál es el resto de la división de 7n+3 entre n, siendo n cualquier número entero distinto de cero?

Enunciat: Considerem que n és un nombre natural, quant val el reste de la divisió 7n+3 entre n, per a tot n enter no nul? Resolució: Vaig suggerir als meus alumnes que provessin diversos valors de n i que, a la vista dels resultats, treguessin les conclusions oportunes. Procedint així, el problema es pot considerar fàcil. Ara bé, tot i que és fàcil intuir la solució, demostrar-la costa una mica més. Vegem-ho. Al primer cop d'ull, ens quedem una mica desconcertats. Ara bé, de seguida una veueta ens diu que cal pensar amb el teorema fonamental de la divisió: el dividend = divisor . quocient + reste. Primer que tot convé entendre que el dividend de l'operació que se'ns dóna, 7n+3, és més gran que el divisor, 7. Això és així perquè n és un nombre natural, i per molt petit que sigui (penseu amb l'u), el dividend és més gran que 7 (10, en el cas que n=1). Si penseu en la divisió en termes d'una fracció (7n+3)/7, en cas, impròpia, ja que el numerador és més gran que el denominador, sabem que la podrem expressar com a suma d'un nombre enter més una fracció pròpia, el numerador de la qual és igual al reste de la divisó. Pel cas que tenim entre mans, (7n+3)/7 la descomposem fàciment així (propietat distributiva): n + 3/7. Pel que acabem de dir, doncs, el reste ha de ser igual a 3

[autoría]

Una persona va andando al trabajo ...

Enunciat:
Una persona que va a peu a la fenina, camina a una velocitat de 4 km/h. La distància de casa seva a la feina és de 1,5 km . Surt de casa a les 08:00:00 . Al mateix temps, el seu veí del pis de dalt, que fa el torn de nit, plega, i surt de la feina per anar-se'n cap a casa, caminant a una velocitat de 3 km/h . A quina distància de casa es creuearan? Quina hora serà?

Resolució:
Anomenant $x$ a la distància de casa a la qual es trobaran, i $t$ al temps que ha de passar (de del moment que surten) fins que es troben, podem plantejar el següent sistema d'equacions (de les proporcions respectives)

$\left.\begin{matrix} \dfrac{4}{1}=\dfrac{x}{t}\\ \\\dfrac{3}{1}=\dfrac{1,5-x}{t}\\ \end{matrix}\right\}$

De la primera equació

$x= 4\,t$

expressió que, posada a la segona equació (on figura la variable $x$) ens permet escriure
la següent equació (que és compatible amb les equacions del sistema original)

$3\,t=1,5-4\,t$

i, resolent-la, trobem

$t=\dfrac{3}{14} \, \text{h} \approx 12 \, \text{min} \; \text{i} \; 51 \, \text{s}$

Per calcular l'hora que serà quan es trobin, cal sumar aquesta quantitat que acabem de trobar a l'hora que han sortit (tots dos, simultàniament)

00:12:51 + 8:00:00 = 08:12:51

I, per determinar la distància $x$ a la que es trobaran (mesurada desde casa seva), substituirem el valor de $t$ que hem trobat en qualsevol de les equacions originals (la primera és més senzilla)

$x=4 \cdot \dfrac{3}{14} \approx 857 \, \text{m}$
$\square$

[autoría]

¿ Cuánto mide el la de una habitación cuadrada tal que ... ? ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu la mesura del costat d'una habitació quadrada, tenint en compte la següent informació. Una altra habitació (que té forma rectangular) fa $9\, \text{m}^2$ menys de superfície (que l'habitació quadrada); i, tenint la meitat d'amplada (que l'habitació quadrada), la seva llargada fa $3\,\text{m}$ més (que la de l'habitació quadrada)

Resolució:

Si anomenem $x$ a la longitud del costat de l'habitació quadrada, l'àrea d'aquesta és igual a $x^2$; i, tenint en compte la informació de l'enunciat, l'àrea de l'habitació rectangular ha de ser igual a
$\dfrac{x}{2}\,(x+3)$

Com que l'àrea de l'habitació quadrada és $9 \,\text{m^2}$ més petita que l'àrea de l'habitació rectangular, podem plantejar l'equació

$x^2-9=\dfrac{x}{2}\,(x+3)$

reduint a comú denominador

$2x^2-18=x^2+3x$

agrupant en un mateix membre de la igualtat, sumant els termes semblants (del mateix grau), i ordenant de grau més gran a grau més petit, escriurem aquesta equació de 2n grau completa ( de la forma $ax^2+bx+c=0$ ) per aplicar el el procediment que ens ha de permetre trobar els valors de la solució

$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

on els coeficients, ara, prenen els següents valors
$a=1$
$b=-3$
$c=-18$
tenim
$x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} = \left\{\begin{matrix} -3\\ \\6\\ \end{matrix}\right.$

És obvi que el primer valor (un nombre negatiu) no té sentit com a solució del problema (malgrat sigui un dels valors de la solució de l'equació) atès que la longitud és una magnitud positiva. La solució del problema la dóna el segon valor $6 \, \text{m}$
$\square$

[autoría]

Ejercicios de ecuaciones de primer grado

De vegades, no cal fer servir llapis i paper; ni tan sols, calculadora. Vegem a continuació un conegut problema: 1.  Les edats d'una mare i el seu fill sumen 83 anys. Quan la mare tenia l'edat del fill, les seves edats sumaven 33 anys. Esbrineu l'edat de cadascun. Anomenem m a l'edat actual de la mare, f a l'edat actual del fill. De la primera frase de l'enunciat podem transcriure la següent equació: m+f=83 [1]. Per altra banda, m-f anys enrere, la mare tenia f anys (l'edat del fill) i l'edat del fill era de f-(m-f) anys i, per tant, la suma de les edats del fill i la mare era: f+ (f-(m-f)) = 33, equació que, una vegada simplificada, podem escriure així: 3f - m = 33 [2]. Resolent el sistema d'equacions {[1],[2]} (pel mètode de reducció és molt ràpid) trobem que f = 29 anys (edat actual del fill), i m = 54 anys (edat actual de la mare). 2.  Hem fet un viatge en cotxe. Hem dividit el trajecte en dues parts. Per fer la primera part hem gastat la meitat del combustible amb què havíem començat el viatge. Per fer la segona part hem gastat la meitat del que quedava al dipòsit. En acabar el viatge encara queden 10 L al dipòsit. Quant combustible hi havia al dipòsit en començar el viatge ? Quina distància hem recorregut sabent que, en mitjana, el vehicle consumeix 6,25 L cada 100 km ? Anomenem x a la quantitat de combustible que teníem al començament. Segons el que llegim a l'enunciat podem plantejar la següent equació: x -x/2 – (1/2)(x-x/2) = 10 . Resolent aquesta equació trobem que x = 40 L. D'aquests, n'hem gastat 40 – 10 = 30 L. Per resoldre la 2a part del problema plantejarem una proporció directa: 100 km / 6,25 L = longitud_del_recorregut / 30 L que, de fet, representa una equació de 1r grau amb d com incògnita: 100/6,25 = d/30 Aïllant la incògnita trobem d = 480 km 3.  El denominador d'una fracció és 4 unitats més gran que el numerador. Si afegim 24 unitats al numerador, la fracció que en resulta és igual a la inversa de la fracció original. Quina és aquesta fracció ? Anomenem x/(x+4) a la fracció original; la inversa és (x+4)/x. I, segons la segona frase de l'enunciat, aquesta ha de ser igual a (x+24)/(x+4). És a dir, s'ha de complir que (x+4)/x = (x+24)/(x+4) Equació que és equivalent a (x+4)2 = x(x+24) Desenvolupant el binomi al quadrat del 1r membre i multiplicant els dos factors del 2n membre trobem x2+8x+16=x2+24x Simplificant, els termes de 2n grau s'anul·len i podem escriure 8x + 16 = 24x Per tant, x = 1 (el numerador de la fracció original). Llavors, el denominador haurà de ser igual a 5 (ja que el denominador és quatre unitats més gran que el numerador - primera frase de l'enunciat -). És a dir, la fracció demanada és 1/5

[autoría]

Ejercicios de proporcionalidad ( Artículo escrito en catalán )

1. El preu d'un article ha augmentat d'un $3$% en relació al que costava l'any anterior. Enguany, quan l'hem comprat, ens ha costat $24,35 \, \text{euro}$. Quant ens va costar l'any passat ?.
Anomenem $x$ a la quantitat que vam pagar l'anys passat. Plantejant la proporció corresponent podem escriure
$\dfrac{100}{100+3}=\dfrac{x}{24,35}$
i aïllant $x$
$x=\dfrac{24,35 \cdot 100}{103} \approx 23,64 \, \text{euro}$
$\square$

2. Una conducció d'aigua omple un dipòsit en $2$ h; una segona conducció l'omple en $3$ h . Si omplim el dipòsit amb totes dues conduccions a la vegada, quant de temps es tarda a tenir el dipòsit ple ?
1a conducció: Si omple tot el dipòsit en $3$ h, en $1$ h n'omple $1/3$ part
2a conducció: Si omple tot el dipòsit en $2$ h, en $1$ h n'omple $1/2$ part

Per tant,
En una mateixa hora, totes dues a la vegada, omlen $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ parts del total, és a dir, $\frac{5}{6}$ parts del dipòsit.

Llavors, anomenant $t$ al temps que cal per oplir el dipòsit, en proporció:
$\dfrac{1}{\frac{5}{6}}=\dfrac{t}{\frac{6}{6}}$

D'aquí, aïllant $t$, trobem
$t=\dfrac{6}{5} \; \text{h}$ que és igual a $1$ h i $12$ min

$\square$

3. Quan un determinat dipòsit és buit i tanquem l'aixeta, s'omple en $5$ h. Per altra banda, sabem que, quan és ple, tancant l'aixeta i obrint del desguàs, es buida en $110$ min. Estant el dipòsit buit, obrim l'aixeta per omplir-lo, però ens deixem el desguàs obert. Quant de temps cal esperar per tal que quedi ple ?
Observem que, en una mateixa unitat de temps, quan l'aixeta i el desguàs són oberts a la vegada, surt més volum d'aigua que el que entra; per tant, és impossible que s'ompli. $\square$


4. Sabem que fa 3 anys, el preu d'un determinat article era de 12, 00 €. Cada any, el preu augmenta d'un 1,4%, en relaci ó al preu de l'any anterior. Calculeu el preu d'enguany ?.

Considerant que fem el pagament anual a final d'any, cal calcular la quantitat que correspon al pagament del quart any. Anomenem $x_1$ a la quantitat que es va pagar fa tres anys (12,00 €); $x_2$, a la quantitat que vam pagar el 2n any; $x_3$, a la que es va pagar el tercer any; i $x_4$ a la quantitat que toca pagar enguany. Plantegem les proporcions encadenades:

$\dfrac{100+1,4}{100}=\dfrac{x_1}{12,00}$
d'on
$x_2 = \dfrac{101,4 \cdot 12,00}{100}$
Semblantment,
$x_3 = \dfrac{101,4 \cdot x_2}{100}$
i
$x_4=\dfrac{101,4 \cdot x_3}{100}$
que, donats els resultats anteriors, és igual a
$\big(\dfrac{101,4}{100}\big)^{3} \cdot 12,00$
que, aproximant, queda

$12,51$ €

$\square$


5. Dipositem 100,00 € en una llibreta d'estalvis. Cada any, aquesta quantitat ens d óna un 2% de bene ficis (interessos). Si hem tingut aquesta quantitat
en estalvi durant 5 anys, quina quantitat de diners tindrem a la llibreta al fi nal d'aquest interval de temps ?


Per calcular els interessos $I_1$que la quantitat que hem posat a la llibreta produeix
en un any plantegem la següent proporció

$\dfrac{2}{100}=\dfrac{I_1}{100,00}$

d'on trobem que $I_1$ = 2,00 €

Llavors, si en un any s'obté aquests beneficis, en 5 anys obtindrem
5·2,00 = 10,00 € d'interessos.

Per tant, al cap de cinc anys a la llibreta hi haurà la quantitat de diners que vam posar en estalvi més els interessos que acabem de calcular, és a dir 110,00 €
$\square$


6. Una poblaci o de bacteris s'ha triplicat. Quin tant per cent d'augment es pot dir que s'ha donat ? I quan s'hagi quadruplicat ?


Anomenem $x$ al nombre d'individus de la població inicial, i $t$ al tant per cent d'augment de la població. Tenint en compte que el nombre d'individus de la població final és igual a $3\,x$ i que, per tant, l'augment del nombre d'individus és $3\,x-x$, podem calcular el valor de $t$, plantejant la següent proporció

$\dfrac{\text{t}}{100}=\dfrac{3\,x-x}{x}$

d'on s'obté que

$t=\dfrac{2\,x \cdot 100}{x}$

és a dir

t=200 %

De manera semblant, és fàcil veure, doncs, que quan la població és duplica l'augment correspon a un 100%; per tant, generalitzant aquests resultats, deduïm que quan es quadriplica, serà d'un 300%; quan es quintuplica, d'un 400%, etcètera.

$\square$


7. D'una determinada quantitat de sorra, en traiem el 15%; tot seguit, del que ha quedat, en traiem el 35%. Fet aix o, encara queden 250 kg de sorra. Quina quantitat de sorra hi havia al començament ? Quina quantitat n'hem tret en total ?


Calculem el tant per cent de sorra $t$ que correson a 250 kg (la quantitat que ha quedat en l'últim pas):

En la primera extracció s'ha retirat un 15% del total.

En la segona, un 35% del 85% que ha havia quedat:
$\dfrac{35}{100}\cdot \dfrac{85}{100}=\dfrac{29,75}{100}$
és a dir, un 29,75% del total

Calculeum, ara, el tant per cent que ha quedat, i que correspon a la quantitat de 250 kg:
100% - (15%+29,75%) = 55,25%

Per calcular la quantitat total $x$ (que hi havia al començament) plantejarem la següent proporció:

$\dfrac{100}{55,25}=\dfrac{x}{250}$

d'on s'obté

$x=\dfrac{250 \cdot 100}{55,25}$

és a dir

$x \approx 452 \; \text{kg}$

Llavors, la quantitat de sorra que s'ha retirat és aproximadament igual (arrodoniment) a
la diferència entre la quantitat total que acabem de calcular i la quantitat de sorra que ha quedat (250 kg); és a dir, $202 \; \text{kg}$, aproximadament (arrodoniment dels decimals).

$\square$


8. Un excursionista recorre la cinquena part d'un trajecte en una primera etapa. Descansa, i a la segona etapa, recorre les dues terceres parts del que
encara li falta per acabar. Torna a descansar i, a la tercera i última etapa,
recorre 20 km. Calculeu la longitud total del recorregut ?


Primer de tot, calcularem la fracció del recorregut que correspon a la tercera etapa.

Si la primera etapa és igual a una cinquena part del total, la segona representa
$\dfrac{2}{3}\cdot (1-\dfrac{1}{5})$
és a dir,

8/15 del total

Per tant, la tercera etapa - de 20 km - representa
$1-\dfrac{8}{15}=\dfrac{7}{15}$
parts del total

Llavors, per calcular la longitud del recorregut total $x$ podem plantejar la següent proporció

$\dfrac{15}{7}=\dfrac{x}{20}$

i aïllant $x$ trobem el seu valor

$x=\dfrac{15 \cdot 20}{7}$

que, aproximat a les unitats, és igual a

43 km

$\square$

[autoría]

El dilema de elección del camino preguntando a un mentiroso. ( Artículo escrito en catalán )

En Jan, un excursionista, caminant per un viarany que solca un bosc frondós, fa via cap al refugi. Arriba en un punt on el viarany es bifurca. A la vora del camí hi ha una masia on sap que hi viuen dos germans. Un és sincer – li direm S – i l'altre és un mentider – l'anomenarem M -. En Jan ja havia estat advertit per un company que es trobaria amb el dilema d'haver de formular una pregunta a una persona que tant podria dir sempre la veritat, com de topar-se amb el seu germà, que diu sempre coses falses.

Evidentment no serviria de res fer la pregunta que li faria a una persona sincera perquè senzillament la probabilitat que aquesta persona fos S és del 50%. No hi ha manera de saber amb certesa si Jan es trobarà amb S o bé amb M. Més aviat, pensa Jan, hauria de deduir el camí correcte a partir de la resposta que li fos donada a la pregunta que formulés, fos qui fos qui es trobés, el germà S o bé el germà M. Jan s'aturà davant la porta de la masia. De seguida va sortir un dels germans que, com que Jan no sap quins dels dos és, aquí l'anomerarem G.

        Jan: Bon dia ! - saludà en Jan alegrement.
        G: I bona hora – el respongué l'home.
        Jan: Voldria fer-vos una pregunta molt important per a mi en aquest moment
        G: Feu-me-la, bon home.
        Jan: Podríeu dir-me quin és el camí que diria el vostre germà que he de prendre per anar cap al refugi ? El de la dreta o el de l'esquerra ?.
        G: Ell diria, sens dubte, el de la dreta.
(...)

Jan en va tenir prou per decidir quin era el camí del refugi amb total certesa: prengué el de l'esquerra. Al vespre, a la llum del foc, explicà l'anècdota a d'altres estadants i el per què d'haver de decidir prendre el camí contrari a l'indicat per G (...)

        Jan: Mireu. Si la persona a qui vaig preguntar hagués sigut S (el sincer), aquesta hauria contestat amb sinceritat allò que hauria contestat M, el mentider: el camí que no era; per tant, és lògic que prengués el camí contrari del que em deia. Per altra banda, si la persona a qui vaig preguntar hagués sigut M, hauria contestat el contrari del que el seu germà S hauria contestat (el camí correcte), per tant, també hagués hagut de prendre el camí contrari que m'indicava. En qualsevol cas ... em cal1ia prendre el camí contrari a l'indicat !.

[autoría]

La proporcionalidad inversa en problemas habituales

Enunciat Dotze persones volen fer una excursió. Han previst 1000 g d'un determinat aliment per cap. A l'últim moment, però, només són vuit. I, com que ja han comprat les coses, volen saber quina quantitat Q correspon a cada persona, ara. Resolució     Mètode elemental: Una resolució molt senzilla i eficaç és la següent. Com que quatre persones s'han retirat i ja no van d'execursió, hi han 4000 g més d'aquest aliment a repartir entre les vuit persones que sí que hi van; això fa que cada una d'elles disposi de 4000:8 = 500 g d'aquest aliment més. És a dir, a cadascuna de les vuit persones els correspon 1000 + 500 = 1500 g. Això és el que, possiblement faria un alumne de 1r d'ESO. Ara bé, quan plantejo el problema als alumnes de 3r curs, a més a més d'aquesta resolució, els demano que pensin en un altra on aparegui d'una manera clara la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de persones i la quantitat que els correspon.     Mètode interessant La quantitat Q és inversament proporcional al nombre de persones N; llavors, podem dir que Q és directament proporcional a 1/N. Si anomenem C a la constant de proporcionalitat podem escriure que Q = C/N i, per tant, Q.N=C. És a dir, la quantitat Q.N pren el mateix valor tant en la situació inicial (quan eren dotze: Q1N1), com ara, que són vuit: Q2N2. Tenint en compte que Q1=1000 g, N1=12, i N2=8, tenim que Q1N1 = Q2N2 I amb els valors donats: 1000(12)=8.Q2 D'aquí trobem que Q2 = 1000.(12/8) = 1500 g/persona Hi han molts exemples de magnituds en relació de proporcionalitat inversa en el món que ens envolta. Exposaré a continuació uns quants exemples sobre això que exposo com analogies al problema sezill del repartiment del qual he parlat al començament 1. Una analogia: la llei física de Boyle-Mariotte sobre els gasos ideals font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/Ley_de_Boyle_Mariotte.png En Física, trobem moltes lleis de proporcionalitat inversa. Per exemple, la llei de Boyle-Mariotte (sobre els gasos ideals) - que ve a dir que, a temperatura constant, el volum V que ocupa un gas ideal és inversament proporcional a la pressió P a la qual es sotmés - segueix el mateix patró matemàtic que el problema exposat: PV = k, on k és la constant de proporcionalitat. Per tant, donades dues situacions P1V1 i P1V1, podrem treballar plantejant la igualtat P1V1 = P2V2 2. Una altra analogia: la relació de proporcionalitat inversa entre el nombre de dents i la velocitat angular de dues rodes engranades font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Gears_animation.gif El nombre de dents z d'una roda engranada a una altra que li transmet el moviment és inversament proporcional a la velocitat angular w, de tal manera que obtenim una fórmula similar: z1.w1 = z2.w2 3 Més encara ... La premsa hidràulica Es tracta d'una aplicació del principi de Pascal (la pressió es transmet per igual a tots els punts d'un fluïd incompressible). F2.S2 = F3.S3 Si sobre l'èmbol (2) exercim una força F2 sobre (3) actuarà una força S3/S2 vegades més gran que la primera (S3 > S2 ). Així podem aixecar cossos pensants fent tan sols una part de la força que representa el seu pes. 3. I encara més ... les palanques Succeeix quelcom semblant, per exemple, amb una palanca de primer gènere: font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/LeverPrincleple.svg/500px-LeverPrincleple.svg.png F1.D1 = F2.D2 Naturalment, també es compleix la relació inversa entre la força i el braç amb les palanques de 2n i 3r gènere. Fixeu-vos en la de segon gènere (un carretó): font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Brouette_equilibre.jpg/350px-Brouette_equilibre.jpg F.b = P.a