Proporcionalidad compuesta

Sean $X$, $Y$ y $Z$ tres magnitudes que intervienen en una relación de proporcionalidad compuesta. Sean los siguientes valores apareados, que corresponden a dos mediciones de cada una de las tres variables: $x_1\,,\,x_2\,;\,y_1\,,\,y_2\,;\,z_1\,,\,z_2$. Supongamos, sin embargo, que $z_2$ es, en realidad, un valor desconocido ( el valor de la medida se ha perdido en circunstancias que no vienen al caso ) y, por tanto, será considerada como incógnita. Vamos a ver ahora cómo expresar la proporción compuesta, según los diversos casos que puedan darse:

    Caso I   ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directament proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot \dfrac{y_1}{y_2}\cdot z_2$

    Caso II   ( $X$ es directamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es directamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_1}{x_2} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_1}{x_2}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$

    Caso III   ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es directamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es directamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_1}{y_2} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_1}{y_2} \cdot z_2$


    Caso IV   ( $X$ es inversamente proporcional a $Z$ e $Y$ es inversamente proporcional a $Z$ ):

Si $Z$ es inversamente proporcional a $X$, entonces, siendo $z_2$ la incógnita, deberá existir un $z_{2}^{'}$ de $Z$ tal que
        $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{x_1}{x_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_1}{z_{2}^{'}}=\dfrac{x_2}{x_1} \Rightarrow z_{1}=\dfrac{x_2}{x_1}\cdot z_{2}^{'}$     (1)
Si $Z$ es inversamente proporcional a $Y$, entonces
        $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\text{inv}\bigg(\dfrac{y_1}{y_2}\bigg)$, luego $\dfrac{z_{2}^{'}}{z_{2}}=\dfrac{y_2}{y_1} \Rightarrow z_{2}^{'}=\dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$     (2)
y sustituyendo (2) en (1) obtenemos
        $z_1=\dfrac{x_2}{x_1} \cdot \dfrac{y_2}{y_1} \cdot z_2$

    [ Ejemplo 1 ]

$\square$

[nota del autor]