Repartos. Polipastos ...

No cal recordar la importància que prenen els sistemes de desmultiplicació de forces. En aquestes notes, repassaré alguns dels conceptes més importants. Fig. 1 Una corda és en medi continu: una tensió es transmet per igual a tots els altres punts. A la figura 1 es mostra un acoblament de politges (polipast) que serveix per mantenir en equilibri un pes P (a la dreta) estirant del tram de corda a l'extrem esquerra amb una força més petita que P. Per simple aritmètica de repartiment de forces, si analitzem el sistema, partint del pes que penja i seguint de baix a dalt i de dreta a esquerra, trobem que la força es divideix per dos cada vegada que ens trobem amb una nova politja; arribem, doncs, a la conclusió que només caldrà fer una força igual a 1/16 del pes del cos per mantenir el sistema en equilibri. És per això que parlem d'un sistema reductor (o desmultiplicador) amb una relació nominal 1:16 Els següent polipast té una relació nominal 1:4 (figura 2). Els 100 N es reparteixen per igual entre cadascun dels quatre trams que connecten la politja superior (fixa) i el quadernal (la politja mòbil). Fig. 2 Polipast de relació nominal 1:4 (font: Wikipedia)http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Polispasto4.jpg La imatge següent (Figura 3.) mostra diversos tipus de polipastos que s'utilizen sovint en velers. A la part superior de cada un hi anatada la relació nominal. Fig. 3 (font de la imatge: C. Wing, Cómo funcionan las cosas de los barcos, Tutor, 2005)

[nota del autor]

Para conseguir un aumento de temperatura de ...

ENUNCIADO
Para conseguir un aumento de temperatura de $20$ grados centígrados en $2$ litros de un cierto líquido se han necesitado $1000$ calorías al calentarlo. Si queremos producir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados en $3$ litros del mismo líquido, ¿ cuántas calorías son necesarias ? \textsf{( Ayuda: Debe tratarse esta cuestión como un problema de proporcionalidad compuesta ). }

SOLUCIÓN
Denotamos por $x$ al número de calorías pedido. En este problema aparecen tres magnitudes relacionadas: la energía ( en forma de calor ) con la que se eleva la temperatura del líquido; el aumento de temperatura, y la cantidad de líquido. La primera es directamente proporcional a la segunda; y también es directamente proporcional a la tercera.

Razonamos, ahora, en dos pasos:

I) Si se necesitan $1000$ calorías para conseguir un aumento de $20$ grados centígrados en $2$ litros de líquido, entonces cabe plantear la siguiente proporción directa ( entre el número de calorías y la cantidad de líquido ) para calcular la cantidad de calorías, $x'$, que ello supone $$\dfrac{x'}{3}=\dfrac{1000}{2}$$ de donde $$x'=1000\cdot \dfrac{3}{2}$$

II) Por otra parte, para conseguir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados, en lugar de un aumento de $20$ grados centígrados, podemos plantear la siguiente proporción ( también directa, entre el número de calorías pedido, $x$, y el aumento de temperatura ) $$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{50}{20}$$ De aquí $$x=x'\cdot \dfrac{50}{20}$$ es decir $$x=1000\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías} $$

-oOo-
Otra forma ( abreviada):
La razón aritmética $\dfrac{x}{1000}$ ha de ser igual a la constante de proporcionalidad compuesta $k=k_1 \cdot k_2$, donde $k_1=\dfrac{3}{2}$ y $k_2=\dfrac{50}{20}$; por tanto, $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20}$$ y, despejando $x$, obtenemos $$x=1000 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías}$$
$\square$

[nota del autor]

El segundo término de una sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
El segon terme d'una successió aritmètica és igual a $4$ i el sisè terme és igual a $3$. Calculeu el valor de la suma dels vint primers termes d'aquesta successió: $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.

Resolució:
Entre el segon i el sisè terme hi ha tres termes; per tant, el sisè terme $a_6$ representa el cinquè terme de la seqüència $\{a_2, a_3, \ldots, a_6 \}$. Llavors
$a_6=a_2+4\,d$
(on $d$ representa la diferència de la successió aritmètica)
Tenint en compte els valors donats a l'enunciat
$3=4+4\,d$

d'on obtenim

$d=-\dfrac{1}{4}$

Per calcular la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ podem fer ús del resultat

$s_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$

Veiem, doncs, que cal calcular els valors del primer i del vintè terme:

El valor del primer és igual a
$a_1=a_2-d=4-(-\dfrac{1}{4})=\ldots=\dfrac{17}{4}$

i, com que $a_n=a_1+(n-1)\,d$, podem calcular el valor de $a_{20}$

$a_{20}=\dfrac{17}{4}+19 \cdot \bigg(-\dfrac{1}{4} \bigg) = \ldots = -\dfrac{1}{2}$

Llavors la suma demanda és igual a
$s_{20}=\dfrac{a_1+a_{20}}{2} \cdot 20 = \ldots = \dfrac{75}{2}$
$\square$

[nota del autor]

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Les projececcions sobre la hipotenusa dels catets $a$ i $b$ del triangle rectangle $\triangle \; ABC$ mesuren $1 \; \text{m}$ i $2 \; \text{m}$, respectivament. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{(2+1) \cdot h}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $h$ farem ús del teorema de l'altura
    $h^2=2\cdot 1$ i, per tant, $h=\sqrt{2} \, \text{m}$
Llavors, substituint aquest resultat a l'expressió (1)
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot \sqrt{2}}{2} \, \text{m}^2$
que, aproximant per arrodoniment
    $\mathcal{A} \approx 2 \, \text{m}^2$
$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=3+a+b \quad \quad (2)$

Calcularem $a$ i $b$ fent ús del teorema del catet:

$a^2=1 \cdot (2+1)$
i, per tant,
$a=\sqrt{3} \, \text{m}$

$b^2=2 \cdot (2+1)$
llavors,
$b=\sqrt{6} \, \text{m}$

Substituint aquests resultats a l'expressió (2), trobem
$\mathcal{P}=3+\sqrt{3}+\sqrt{6} \, \text{m}$
que, aproximant per arrodoniment, queda
$\mathcal{P} \approx 7 \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el área y el perímetro del triángulo ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un dels catets d'un triangle rectangle mesura $3 \; \text{m}$, i la longitud de la seva projecció sobre la hipotenusa és igual a $2 \; \text{m}$. Feu un dibuix esquemàtic del triangle i calculeu:
    a) l'àrea del triangle
    b) el perímetre del triangle

Resolució:

  a)
Calcularem l'àrea fent
    $\mathcal{A}=\dfrac{3 \cdot b}{2} \quad \quad (1)$
Per calcular $b$ farem ús del teorema catet
    $b^2=(2+m)\cdot m \quad \quad (2)$

i, per calcular $m$, tornarem a fer ús del teorema del catet (amb l'altre catet i la corresponent projecció sobre la hipotenusa, és clar)
$3^2=(2+m)\cdot 2$
per tant
$m=\dfrac{5}{2} \, \text{m}$
Substituint aquest resultat a l'expressió (2) trobem
    $b^2=(2+\dfrac{5}{2})\cdot \dfrac{5}{2}$
és a dir
    $b^2=\dfrac{45}{4}$
i, per tant,
    $b=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

Finalment, posant el valor de $b$ a l'expressió (1), arribem a

    $\mathcal{A}=\dfrac{9 \, \sqrt{5}}{4} \, \text{m}^2$

que, aproximant per arrodoniment, queda

    $\mathcal{A}\approx 5 \, \text{m}^2$

$\square$

  b)
El perímetre (suma de les longituds dels tres costats) és igual a
$\mathcal{P}=(2+m)+3+b \quad \quad (2)$

Substituint els resultats de $m$ i $b$ (que ha hem calculat) en aquesta expressió trobem el següent resultat

$\mathcal{P}=\big(2+\dfrac{5}{2}\big)+3+ \dfrac{3\,\sqrt{5}}{2} \, \text{m}$

operant i aproximant (per arrodoniment) obtenim

$\mathcal{P}\approx 11 \, \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Algunas propiedades sobre las áreas de las figuras construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo. ( Artículo escrito en catalán )

Aquestes propietats sobre les àrees de les figures regulars construïdes sobre els costats d'un triangle rectangle ja van ser recopilades per Euclides (c. 365 – 275 aC) a els Elements (Llibre VI , Proposició número 31). A les dues figures següents es mostren dos exemples; en la primera figura, les figures construïdes sobre els costats són semicercles (primera figura) i, en la segona, pentàgons (regulars).

[nota del autor]

Una demostración del Teorema de Pitágoras ... ( Artículo escrito en catalán )

El Teorema de Pitàgores expressa la propietat següent:
  L'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
  Dit d'una manera simbòlica i d'acord amb la notació de la Figura 1:
                                                $b^2=a^2+c^2$

Demostració:
Fent un cop d'ull a la figura de sota, observem que d'acord amb el Teorema d'invariància de l'àrea d'un paral·lelogram [ Si es deforma un paral·lelogram mantenint el valor de la longitud del segment perpendicular entre les bases (l'altura) i la longitud de la base, el valor de l'àrea con canvia ], l'àrea del quadrat ABDE (en verd) és igual a la del paral·lelogram ABIL (en gris, superposat sobre el quadrat verd); semblantment, l'àrea del quadrat BCFG (en color rosa) és igual a l'àrea del paral·lelogram BCHI (en rosa pujat de to).

Per altra banda, i per la mateixa raó, l'àrea de ABIL és igual a l'àrea de AKNM (una part de l'àrea de ACJK, el quadrat sobre la hipotenusa), i l'àrea de BCHI és igual a de CMNJ (fent servir altre cop la mateixa propietat d'invariància d'àrees) que és la part que falt per cobrir l'àrea de ACJK. I, dit això, queda demostrat que
l'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa d'un triangle rectangle és igual a la suma de les àrees dels quadrats que es construeixen sobre els seus catets.
$\square$

[nota del autor]

Consideremos una disolución de alcohol ...

Enunciado:
Consideremos una disolución de alcohol en agua, al $96 \, \%$ ( tanto por ciento de alcohol en volumen ). Si mezclamos $1 \, \text{L}$ de dicha disolución con $0,5 \, \text{L}$ de agua, ¿ cuál es la graduación de la disolución resultante ?.

Solución:
La graduación es la razón aritmética del volum de alcohol puro y el volumen total de la disolución; por tanto el grado de la disolución resultante es
    $\dfrac{0,96}{1+0,5}\cdot 100 = 64 \, \%$
$\square$

[nota del autor]

División entera por defecto y por exceso. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Umprant la divisió per defecte y la divisió per excés, determineu el valor del quocient $q$ i del residu $r$, donats els següents valors del dividend $D$ i del divisor $d$:
    a) $D=5$ i $d=2$
    b) $D=-5$ i $d=2$
    c) $D=5$ i $d=-2$
    d) $D=-5$ i $d=-2$

Solució:
El Teorema de la divisió euclidiana [ dit també de la divisió dels nombres enters], que és el punt de partida per resoldre l'exercici, enuncia que:

  Donats dos nombres enters qualssevol $D$ ( que anomenem dividend) i $d \neq 0$ ( que anomenem divisor ), llavors existeixen dos nombres enters $q,r$ (únics), que compleixen les següents condicions:
    $D=d\cdot q +r$
    $0\le r \prec \left|d\right|$

a) $q=2$ i $r=1$
b) $q=-3$ i $r=1$
c) $q=-2$ i $r=1$
d) $q=3$ i $r=1$

Observació:

Les calculadores científiques i els programes de càlcul incorporen una funció per calcular el valor del residu d'una divisió entera ( efectuant-la per defecte, si el divisor és un nombre positiu però, per excés, si el divisor és un nombre negatiu ).

Aquesta funció rep la designació MOD(D,d), on D (el valor del dividend) i d (el valor del divisor) en són els arguments; i s'ha de fer servir, doncs, concretant el valor del primer argument, D, i del segon argument, d.

Per exemple, podem comprovar que teclejant mod(5,2) obtenim 1 com a resultat del càlcul del residu; teclejant mod(-5,2), obtindrem 1 com a resultat; si teclegem, però, mod(5,-2) obtindrem -1 (que és el que li correspon al residu fent la divisió per excés); i teclejant mod(-5,-2), obtindrem també -1 com a resultat (fa la divisió per defecte). Cal, per tant, anar amb compte quan fem ús de calculadores o bé de programes de càlcul i tenir en consideració això.

Dos pintores ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos pintors igualment eficients i treballant en paral·lel tarden $30 \; \text{min}$ a pintar un pany de paret de $6\; \text{m}^2$. Quant de temps trigaran tres pintors igualment hàbils per pintar un pany de paret de $25 \; \text{m}^2$ ?

Solució:
Intervenen en aquest problema tres magnituds: a) el temps emprat a pintar; b) l'àrea de paret a pintar; i c) el nombre de pintors que treballen en paral·lel.

En intervenir més de dues mangnituds, tenim un problema de proporcionalitat composta entre els següents parells de magnituds: i) el temps emprat i el nombre de pintors (que és una relació de p. inversa); i ii) el temps emprat i l'àrea de paret a pintar (que és una relació de p. directa).

Resoldrem el problema mitjançant dos passos encadenats (dues proporcions enllaçades). Plantejarem, doncs, aquestes dues proporcions:

  i)     Calculem el temps que tardarien $3$ pintors (en comptes de $2$ pintors ) a pintar la mateixa àrea de paret ( $6\; \text{m}^2$ ):

    $\dfrac{30}{\frac{1}{2}}=\dfrac{t_1}{\frac{1}{3}}$
i d'aquí trobem que
    $t_1=20 \; \text{min}\quad \quad (1)$

  ii)     Fet això, calculem quant de temps tardarien els tres pintors a pintar $25 \; \text{m}^2$

    $\dfrac{t_2}{25}=\dfrac{t_1}{6} \quad \quad (2)$

Finalment, tenint en compte [ de (1) ] que $t_1=20\; \text{min}$, substituïm aquest resultat parcial en (2) i trobem
    $t_2=\dfrac{25}{6}\cdot 20$
        $=83,\bar{3} \; \text{min}$
        $=1\; \text{h}\;\;23\;\text{min}\;\;20\;\text{s}$

$\blacksquare$

Observació: Si canviem l'odre d'aplicació de les proporcions s'obtindrà, com és ben evident, el mateix resultat.

[nota del autor]