domingo, 23 de octubre de 2016
Un problema en el que se aplica la notación científica para hacer los cálculos con comodidad
ENUNCIADO. La luz recorre aproximadamente $300\,000$ kilómetros en $1$ segundo, en el espacio interestelar. La distancia que recorre la luz en $1$ año se toma como una unidad de longitud en astronomía, a la que llamamos año luz. La distancia de nuestro Sol a la estrella Proxima Centauri es de $4,22$ años luz. Exprésese esta distancia en kilómetros, escribiéndola en notación científica. NOTA: Todas los datos del problema, salvo la duración del año terrestre en días ( terrestres), se consideran exactos.
SOLUCIÓN. Para hacer el cálculo que se nos pide, debemos recordar que $1$ año astronómico terrestre es igual, aproximadamente, a $365,25$ días; $1 \,\text{día}=24\,\text{horas}$, y $1\,\text{hora} = 3600\, \text{segundos}$.
Así que $1 \,\text{año astronómico}=365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$, luego $4,22\,\text{años}=4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$
Y como la luz recorre ( en el espacio interestelar ) $300\,000$ kilómetros cada segundo, la longitud de camino que recorre en $4,22$ años es igual a $$300\,000\cdot 4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600 \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$ es decir, $$4,22\,\text{años luz} \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$
OBSERVACIÓN. Aproximamos el resultado final con $5$ cifras significativas, porqué la precisión de éste, como resultado de las operaciones de multiplicación, viene limitada por la precisión del único dato no exacto, que es la duración del año terrestre en días, y éste tiene ese número de cifras significativas.
$\square$
SOLUCIÓN. Para hacer el cálculo que se nos pide, debemos recordar que $1$ año astronómico terrestre es igual, aproximadamente, a $365,25$ días; $1 \,\text{día}=24\,\text{horas}$, y $1\,\text{hora} = 3600\, \text{segundos}$.
Así que $1 \,\text{año astronómico}=365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$, luego $4,22\,\text{años}=4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600\, \text{segundos}$
Y como la luz recorre ( en el espacio interestelar ) $300\,000$ kilómetros cada segundo, la longitud de camino que recorre en $4,22$ años es igual a $$300\,000\cdot 4,22\cdot 365,25\cdot 24\cdot 3600 \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$ es decir, $$4,22\,\text{años luz} \approx 4,9952 \times 10^{13}\text{kilómetros}$$
OBSERVACIÓN. Aproximamos el resultado final con $5$ cifras significativas, porqué la precisión de éste, como resultado de las operaciones de multiplicación, viene limitada por la precisión del único dato no exacto, que es la duración del año terrestre en días, y éste tiene ese número de cifras significativas.
$\square$
Otro ejercicio de cálculo con fracciones
ENUNCIADO. Expresar los términos en fracción y calcular la fracción resultante irreducible: $$(2,\overset{\frown }{36}+2,\overset{\frown}{3})\cdot 0,5-2,3\overset{\frown}{6}$$
SOLUCIÓN.
Las fracciones generatrices de los términos de la expresión son:
$2,\overset{\frown}{36}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{236-2}{99}=\dfrac{234}{99}=\dfrac{26}{11}$
$2,\overset{\frown}{3}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{23-2}{9}=\dfrac{21}{9}=\dfrac{7}{3}$
$0,5\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
$2,3\overset{\frown}{6}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{236-23}{90}=\dfrac{213}{90}=\dfrac{71}{30}$
Entonces, la expresión pedida, escrita en fracciones, es $$\left(\dfrac{26}{11}+\dfrac{7}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{71}{30}\overset{\text{calculadora}}{=}-\dfrac{1}{50}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Las fracciones generatrices de los términos de la expresión son:
$2,\overset{\frown}{36}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{236-2}{99}=\dfrac{234}{99}=\dfrac{26}{11}$
$2,\overset{\frown}{3}\overset{\text{d.p.p.}}{=}\dfrac{23-2}{9}=\dfrac{21}{9}=\dfrac{7}{3}$
$0,5\overset{\text{d.e.}}{=}\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
$2,3\overset{\frown}{6}\overset{\text{d.p.m.}}{=}\dfrac{236-23}{90}=\dfrac{213}{90}=\dfrac{71}{30}$
Entonces, la expresión pedida, escrita en fracciones, es $$\left(\dfrac{26}{11}+\dfrac{7}{3}\right)\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{71}{30}\overset{\text{calculadora}}{=}-\dfrac{1}{50}$$
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Aproximaciones y errores
ENUNCIADO. El número de localidades ocupadas en un partido de fútbol fue de $24\,875$. Desde las gradas, un asistente estimó en $25\,000$ el número de espectadores. Se pide:
a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
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a) El error absoluto de dicha estimación
b) El error relativo, expresado en tanto por ciento
c) ¿ Cuántas cifras significativas tiene la cantidad aproximada ? ¿ Son todas ellas correctas ?
SOLUCIÓN.
a) La cantidad que aproxima a $x=24\,875$ es $\bar{x}=25\,000$, entonces el error absoluto es $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x}\right|=\left|24\,875-25\,000\right|=125$$
b) Veamos ahora el error relativo, $$e\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{125}{24\,875}\approx 0,005=0,5\,\%$$
c) Las cinco cifras de la cantidad exacta son, obviamente, significativas. Ahora bien, no todas las cifras de la cantidad aproximada son significativas, pues la persona que ha hecho la estimación ( del número de asistentes ) desde las gradas ha hecho un recuento que, claramente, no es exacto; basta con que reparemos en los tres ceros finales de dicha cantidad estimada o aproximada, lo cual indica que la estimación sólo se ha ajustado hasta las unidades de millar. Así pues, las cifras significativas de la cantidad aproximada $\mathbb{25}\,000$ son el '$2$' de las decenas de millar y el '$5$' de las unidades de millar -- en general los ceros a la derecha, no se consideran cifras significativas --, por tanto podemos decir que la cantidad aproximada tiene dos cifras significativas.
Veamos ahora si estas dos cifras significativas son correctas. Examinemos la cifra de las unidades de millar. Para que sea correcta, el error absoluto debe ser menor que media unidad del orden de magnitud que corresponde a dicha cifra, $$ E \overset{\text{?}}{<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^3=500$$ y en efecto, así es, $125 \prec 500$, luego al ser correcta la cifra significativa que expresa el menor orden de magnitud, también lo son las que expresan órdenes de magnitud mayores; es decir, lo son las dos: el '$2$' y el '$5$'
NOTA. Al no ser significativas las cifras '$0$' a la derecha de la cifra de las unidades de millar, éstas son -- por supuesto -- dudosas ( no son correctas ). Es fácil comprobarlo. En efecto, el '$0$' que corresponde al orden de las centenas no lo es, pues incumple el criterio que hemos utilizado arriba $$125 \succ \dfrac{1}{2}\cdot 10^2=50$$ Por tanto, y con mayor razón, los otros dos '$0$s' ( el de las decenas y el de las unidades ) no pueden ser tampoco cifras correctas.
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Ejercicios varios de cálculo con fracciones
ENUNCIADO. Calcular sin emplear la calculadora:
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
$\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
$=\dfrac{3+2}{6}$
$=\dfrac{5}{6}$
b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
$\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
$=\dfrac{-10}{11}+5$
$=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
$=\dfrac{-10+55}{11}$
$=\dfrac{45}{11}$
c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{2-5}{9}$
$=\dfrac{-3}{9}$
$=\dfrac{-1}{3}$
$=-\dfrac{1}{3}$
d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
$=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{3}$
NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
$\square$
a) $\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}$
b) $\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5$
c) $\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}$
d) $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}$
SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{1}{2}+3\cdot \dfrac{1}{9}=$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{9}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$
$\overset{\text{m.c.m.(2,3)=6}}{=}\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}$
$=\dfrac{3+2}{6}$
$=\dfrac{5}{6}$
b)
$\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{6}\right)+5=$
$\overset{\text{m.c.m.(5,6)=30}}{=}\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24}{30}-\dfrac{35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{24-35}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\div \left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{-11}{30}\right)+5$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{-30}{11}\right)+5$
$=\dfrac{-10}{11}+5$
$=\dfrac{-10}{11}+\dfrac{55}{11}$
$=\dfrac{-10+55}{11}$
$=\dfrac{45}{11}$
c)
$\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{3}{2}=$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{2}{3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 2}{6 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5\cdot 1}{3 \cdot 3}$
$=\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{2-5}{9}$
$=\dfrac{-3}{9}$
$=\dfrac{-1}{3}$
$=-\dfrac{1}{3}$
d)
$\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \div \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}=$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1\cdot 3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{-1}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\text{inverso}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \text{inverso} \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}\right)^{-1}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2-3}$
$=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}$
$=\text{inveso}\left(\dfrac{3}{2}\right)$
$=\dfrac{2}{3}$
NOTA: Como casi todos los ejercicios de cálculo, éste puede desarrollarse de otras formas ( respetando, claro está, las propiedades ); en este caso, estos procedimientos alternativos pasan por desarrollar las potencias de los denominadores y numeradores en los primeros pasos. Naturalmente, se llega al mismo resultado.
$\square$
Un problema en el que se aplican las fracciones
ENUNCIADO. Juan ha gastado $\dfrac{2}{5}$ partes de su paga en adquirir unas entradas para un concierto y $\dfrac{3}{4}$ del resto en comprarse ropa de deporte. Sabiendo que le quedan $27$ euros, calcula el importe de la paga de Juan.
SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
La parte del total que ha gastado es $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{4}\cdot (1-\dfrac{2}{5})=\dfrac{17}{20}$$ luego la parte ( del total ) que le quedado es $$1-\dfrac{17}{20}=\dfrac{3}{20}$$ Denotando por $x$ la cantidad total ( la paga ) podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{20}{3}=\dfrac{x}{27}$$ y despejando $x$ llegamos a $$x=\dfrac{20\cdot 27}{3}=180\,\text{euros}$$
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sábado, 1 de octubre de 2016
Trasllat d'una mesura angular
En aquest cas, les paraules són gaiarebé balderes:
Nota: el regle només s'ha fet servir per traçar el costats dels angles. Obviament, no cal que sigui un regle graduat.
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