miércoles, 21 de diciembre de 2016
Empleando el método de reducción para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método algebraico llamado de reducción: $$\left\{\begin{matrix}2x & - & 3y & = & 1 \\ 3x & + & 2y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Resolviendo gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método gráfico ( geométrico ): $$\left\{\begin{matrix}x & - & y & = & 1 \\ x & + & y & = & 1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
lunes, 19 de diciembre de 2016
Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra
ENUNCIADO. Sea un número entero positivo de dos cifras cuya suma es $9$. Si lo escribimos del revés ( las unidades como decenas y las decenas como unidades ), obtenemos otro número que es $45$ unidades mayor que el original. ¿ Cuál es ese número ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$
Así, pues, el número pedido es $27$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cifra de las decenas y por $y$ la de las unidades. Por el sistema de numeración decimal, que es posicional, dicho número se escribe como $$10\,x+y$$ Por otra parte el número que se obtiene al intercambiar las cifras es $$10\,y+x$$ Entonces, de acuerdo con el enunciado, podemos escribir dos ecuaciones ( una para cada frase del mismo ):
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ (10\,y+x)&-&(10\,x+y)&=&45\end{matrix}\right.\quad \sim$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ -9\,x&+&9\,y&=&45\end{matrix}\right. \overset{9\,e_1+e_2\;\rightarrow\,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&18\,y&=&126\end{matrix}\right.\sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&9\\\\ &&y&=&\dfrac{126}{18}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&7&=&9\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right. \sim $
$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&=&2\\\\ &&y&=&7\end{matrix}\right.$
Así, pues, el número pedido es $27$
$\square$
Empleando el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones
ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones empleando algún método algebraico: $$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Vamos a emplear el método de igualación:
$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{1+2y}{5}\\ x=2-3y\end{matrix}\right. \Rightarrow \dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
Resolviendo ahora esta ecuación de primer grado en $y$,
$\dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
$5\cdot \dfrac{1+2y}{5}=5\cdot (2-3y)$
$1+2y=10-15\,y$
$2y+15\,y=10-1$
$17\,y=9$
$y=\dfrac{9}{17}$
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones, pongamos que en la segunda, obtendremos el valor de la primera incógnita: $$x+3\cdot \dfrac{9}{17}=2$$ luego
$x=2-3\cdot \dfrac{9}{17}$
$=2-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{34}{17}-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{7}{17}$
$\square$
SOLUCIÓN. Vamos a emplear el método de igualación:
$\left\{\begin{matrix}5x & - & 2y & = & 1 \\ x & + & 3y & = & 2 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{1+2y}{5}\\ x=2-3y\end{matrix}\right. \Rightarrow \dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
Resolviendo ahora esta ecuación de primer grado en $y$,
$\dfrac{1+2y}{5}=2-3y$
$5\cdot \dfrac{1+2y}{5}=5\cdot (2-3y)$
$1+2y=10-15\,y$
$2y+15\,y=10-1$
$17\,y=9$
$y=\dfrac{9}{17}$
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones, pongamos que en la segunda, obtendremos el valor de la primera incógnita: $$x+3\cdot \dfrac{9}{17}=2$$ luego
$x=2-3\cdot \dfrac{9}{17}$
$=2-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{34}{17}-\dfrac{27}{17}$
$=\dfrac{7}{17}$
$\square$
martes, 6 de diciembre de 2016
Resolviendo ecuaciones de primer grado
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$$
SOLUCIÓN.
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $6$. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por $6$ obtendremos una ecuación equivalente más sencilla, con coeficientes enteros.
$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$
$6\cdot \dfrac{x+5}{3}-6\cdot \dfrac{3x-37}{2}=6\cdot 1$
$2\cdot (x+5)-3\cdot (3x-37)=6$
$2x+10-9x+111=6$
$2x-9x=6-111-10$
$-7x=-115$
$7x=115$
$x=\dfrac{115}{7}$
$\square$
SOLUCIÓN.
El mínimo común múltiplo de los denominadores es $6$. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por $6$ obtendremos una ecuación equivalente más sencilla, con coeficientes enteros.
$\dfrac{x+5}{3}-\dfrac{3x-37}{2}=1$
$6\cdot \dfrac{x+5}{3}-6\cdot \dfrac{3x-37}{2}=6\cdot 1$
$2\cdot (x+5)-3\cdot (3x-37)=6$
$2x+10-9x+111=6$
$2x-9x=6-111-10$
$-7x=-115$
$7x=115$
$x=\dfrac{115}{7}$
$\square$
Escribiendo expresiones algebraicas
ENUNCIADO. Escribir el polinomio que determina el valor del área de un trapecio rectángulo, de bases $x$ y $x+2$, y tal que la distancia perpendicular entre dichas bases es de $3$ centímetros.
SOLUCIÓN. El área de un trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las longitudes de los lados paralelos y multiplicando por la distancia perpendicular entre dichos lados. Entonces $$\text{Área}=\dfrac{x+(x+2)}{2}\cdot 3 = 3\cdot (x+1)$$
$\square$
SOLUCIÓN. El área de un trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las longitudes de los lados paralelos y multiplicando por la distancia perpendicular entre dichos lados. Entonces $$\text{Área}=\dfrac{x+(x+2)}{2}\cdot 3 = 3\cdot (x+1)$$
$\square$
Un ejercicio de traducción del lenguaje usual al lenguaje del álgebra
ENUNCIADO. Escribir la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es la mitad de la altura.
SOLUCIÓN. El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de un lado por la altura correspondiente y dividiendo por dos. Denotemos por $x$ la altura, entonces $\dfrac{x}{2}$ es el lado perpendicular a la misma. Y por tanto $$\text{Área}=\dfrac{x\cdot (x/2)}{2}=\dfrac{x^2}{4}$$
$\square$
SOLUCIÓN. El área de un triángulo se calcula multiplicando la longitud de un lado por la altura correspondiente y dividiendo por dos. Denotemos por $x$ la altura, entonces $\dfrac{x}{2}$ es el lado perpendicular a la misma. Y por tanto $$\text{Área}=\dfrac{x\cdot (x/2)}{2}=\dfrac{x^2}{4}$$
$\square$
lunes, 5 de diciembre de 2016
Resolviendo problemas mediante el álgebra
ENUNCIADO. Al aumentar $9$ centímetros el lado de un cierto cuadrado se obtiene otro cuadrado cuya área es $657$ centímetros cuadrados mayor que el área del cuadrado original. ¿ Cuál es el área de dicho cuadrado ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el lado del cuadrado original. Entonces su área es $x^2$. Por otra parte, el área del cuadrado ampliado es $(x+9)^2$. Y como la diferencia de las áreas es $657$ centímetros cuadrados, podemos plantear la siguiente ecuación $$(x+9)^2-x^2=657$$ Procedemos a resolverla.
$(x+9)^2-x^2=657$
$(x^2+2\cdot 9\,x+9^2)-x^2=657$
$x^2+18,x+81-x^2=657$
$x^2-x^2+18,x=657-81$
$18,x=576$
$x=\dfrac{576}{18}=32$
Así, pues, el área del cuadrado original es $32^2=1024$ centímetros cuadrados.
$\square$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el lado del cuadrado original. Entonces su área es $x^2$. Por otra parte, el área del cuadrado ampliado es $(x+9)^2$. Y como la diferencia de las áreas es $657$ centímetros cuadrados, podemos plantear la siguiente ecuación $$(x+9)^2-x^2=657$$ Procedemos a resolverla.
$(x+9)^2-x^2=657$
$(x^2+2\cdot 9\,x+9^2)-x^2=657$
$x^2+18,x+81-x^2=657$
$x^2-x^2+18,x=657-81$
$18,x=576$
$x=\dfrac{576}{18}=32$
Así, pues, el área del cuadrado original es $32^2=1024$ centímetros cuadrados.
$\square$
Resolviendo ecuaciones polinómicas de segundo grado
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$(x-2)^2=(x-3)^2+48$$
SOLUCIÓN.
$(x-2)^2=(x-3)^2+48$
$x^2-4x+4=x^2-6x+9+48$ ( por la identidad notable $(a- b)^2=a^2-2ab+b^2$ )
$-4x+4=-6x+9+48$
$-4x+6x=9+48-4$
$2x=53$
$x=\dfrac{53}{2}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$(x-2)^2=(x-3)^2+48$
$x^2-4x+4=x^2-6x+9+48$ ( por la identidad notable $(a- b)^2=a^2-2ab+b^2$ )
$-4x+4=-6x+9+48$
$-4x+6x=9+48-4$
$2x=53$
$x=\dfrac{53}{2}$
$\square$
Resolviendo problemas aritméticos mediante el álgebra
ENUNCIADO. Hallar los dos números cuya suma es $49$, sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es $931$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Resolviendo ecuaciones del tipo producto de binomios igualado a cero
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$(x+3)\cdot (x+14)=0$$
SOLUCIÓN.
$$(x+3)\cdot (x+14)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \\ \\ x+14=0 \Leftrightarrow x=-14 \end{matrix}\right.$$luego la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-14\}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
$$(x+3)\cdot (x+14)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \\ \\ x+14=0 \Leftrightarrow x=-14 \end{matrix}\right.$$luego la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-14\}$$
$\square$
Desarrollando expresiones algebraicas, empleando las identidades notables
ENUNCIADO. Simplificar la siguiente expresión $$(2x^2+9)\cdot (2x^2-9)-(x+3x^2)\cdot (x-3x^2)$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Aplicando las identidades notables para desarrollar expresiones algebraicas
ENUNCIADO. Desarrollar la siguiente expresión $$(x^3-x)^2$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Averiguando si un cierto número es una raíz de un polinomio dado
ENUNCIADO. Averiguar si $x=-2$ es una raíz del polinomio $$P(x)=-3x^2+3x+18$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
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