Resolviendo ecuaciones polinómicas

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $-x^2-x+2=0$
b) $\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$

SOLUCIÓN.
a) Ésta es una ecuación polinómica de segundo grado
$$-x^2-x+2=0 \Leftrightarrow x^2+x-2=0$$ Teniendo en cuenta ahora que $$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$$

Entonces, como $a=b=1$ y $c=-2$ tenemos que

$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\-1\end{matrix}\right.$

b) Se trata ahora de resolver una ecuación polinómica de primer grado con coeficientes fraccionarios, los cuales reduciremos primero a común denominador para llegar a una ecuación equivalente con coeficientes enteros, que será más fácil de resolver:

$\dfrac{2-x}{2}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3-x}{6}$

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\text{m.c.m.}(2,3,6)=6$ podemos escribir

  $6\cdot \dfrac{2-x}{2}-6 \cdot \dfrac{x+5}{3}=6\cdot \dfrac{3-x}{6}$

    $3(2-x)-2 \cdot (x+5)=3-x$

      $6-3\,x-2\,x -10=3-x$

        $6-10-3=3\,x+2\,x-x$

          $-7=4\,x$

            $x=-\dfrac{7}{4}$

$\square$