¿ Es o no es una raíz ?

ENUNCIADO. Averiguar si $x=-1$ es una raíz del polinomio $$P(x)=x^5+3x^4+4\,x^3+4\,x^2+3\,x+1$$

SOLUCIÓN. Sabemos que un número real $a$ es una raíz de $P(x)$ si y sólo si $P(a)=0$. Veamos pues si se anula el polinomio con el valor propuesto, $-1$:
$P(-1)=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
            $=(-1)^5+3\cdot (-1)^4+4\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)+1$
              $=-1+3\cdot 1+4\cdot (-1)+4\cdot 1 +(-3) +1$
                $=-1+3-4+4-3+1$
                  $=0$
luego $-1$ es ráiz de $P(x)$
$\square$