Rebotes

ENUNCIADO. Una pelota se deja caer, en vertical, desde $30$ metros de altura. Así que va rebotando en el suelo, subiendo y bajando, de manera que tras cada rebote ( en el suelo ) alcanza una altura igual a $4/5$ de la altura desde la que ha caído en la etapa anterior. Se pide:
a) ¿ A qué altura del suelo se eleva tras el quinto rebote ?
b) ¿ Cuál es la longitud de camino recorrido desde que se deja caer ( inicio ) hasta que la pelota alcanza la altura máxima tras el quinto rebote ?

SOLUCIÓN.
a)
En el primer rebote se eleva a $\dfrac{4}{5}\cdot 30 $ metros del suelo; en el segundo, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\cdot 30 $ metros; en el tercero, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^3\cdot 30 $ metros; en el cuarto, hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^4\cdot 30 $ metros. Y, por tanto, tras el quinto rebote la pelota se eleva hasta $\left(\dfrac{4}{5}\right)^5\cdot 30 = \dfrac{6144}{625} \approx 9,83$ metros

b)
Teniendo en cuenta que al dejarse caer la pelota ésta recorre:

    i) $30$ metros de bajada

    ii) $2\cdot 30 \left( \dfrac{4}{5} + (\dfrac{4}{5})^2 + (\dfrac{4}{5})^3 + (\dfrac{4}{5})^4 \right) = 60\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{(4/5)^4-1}{4/5-1}=\dfrac{17\,712}{125}$ metros, en los cuatro tramos de subida y bajada ( posteriores al primer descenso ), donde hemos aplicado la fórmula de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica, esto es, $s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$

    iii) $\dfrac{6144}{625}$ metros [ al final, al subir tras el quinto rebote ( no se nos pide que hagamos el recuento tras los rebotes sucesivos, a partir del sexto rebote ) ]

Así, pues, sumando las longitudes anteriores obtenemos $$30+\dfrac{17\,712}{125}+\dfrac{6144}{625} \approx 181,53 \; \text{metros}$$

$\square$