Un ejercicio sobre sucesiones geométricas

ENUNCIADO. De una cierta sucesión geométrica se sabe que el valor del primer término es $\dfrac{1}{4}$ y el del quinto es $4$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el quinto
b) La suma de los veinte primeros términos de dicha sucesión

SOLUCIÓN.

-oOo-Aquí tenéis también el texto de la solución:
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión geométrica para determinar el valor de la razón $r$ de la misma $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$ para $n\ge 1$

Así, $$a_5=a_1\cdot r^{5-1}$$ Sustituyendo los datos $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^{5-1}$$ esto es $$4=\dfrac{1}{4}\cdot r^4$$ luego $$16=r^4$$ y teniendo en cuenta que $16=2^4$ podemos escribir $$2^4=r^4$$ lo cual nos lleva a deducir que $$r=2$$

Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=\dfrac{1}{4}\cdot 2^{n-1}$ para $n\ge 1$

Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:

  $a_2=a_1\cdot r = \dfrac{1}{4}\cdot 2 = \dfrac{1}{2}$

  $a_3=a_1\cdot r^2 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^2 = 1$

y

  $a_4=a_1\cdot r^3 = \dfrac{1}{4}\cdot 2^3 = \dfrac{8}{4}=2$

b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión geométrica, partiendo en particular del primero $$s_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$$ Basta con sustituir los los datos:

$s_{20}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2^{20}-1}{2-1}$

  $=\dfrac{1}{4}\cdot (2^{20}-1)$

    $=\dfrac{1\,048\,575}{4}$

$\square$