Un ejercicio sobre sucesiones aritméticas

ENUNCIADO. De una cierta sucesión aritmética se sabe que el valor del primer término es $-1$ y el del séptimo es $1$. Calcular:
a) Los valores de los términos consecutivos, entre el primero y el séptimo
b) La suma de los cien primers términos de dicha sucesión

SOLUCIÓN.
a)
Con los datos del problema, vamos a utilizar la fórmula del término general de una sucesión aritmética para determinar el valor de la diferencia, $d$, de la misma $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ para $n\ge 1$

Así, $$a_7=a_1+(7-1)\cdot d$$ Sustituyendo los datos $$1=(-1)+(7-1)\cdot d$$ esto es $$2=6\,d$$ luego $$d=\dfrac{1}{3}$$

Ahora ya podemos calcular el término que queramos, pues disponemos de la fórmula del término general de esa sucesión: $a_n=-1+\dfrac{1}{3}\cdot (n-1)$ para $n\ge 1$ que también podemos expresar así $a_n=\dfrac{n-4}{3}$ para $n \ge 1$

Así vemos que los términos pedidos tienen los siguientes valores:

  $a_2=\dfrac{2-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$

  $a_3=\dfrac{3-4}{3}=-\dfrac{1}{3}$

  $a_4=\dfrac{4-4}{3}=0$

  $a_5=\dfrac{5-4}{3}=\dfrac{1}{3}$

y

  $a_6=\dfrac{6-4}{3}=-\dfrac{2}{3}$

b)
Vamos ahora a utilizar la fórmula de la suma de los $n$ términos consecutivos de una sucesión aritmética, partiendo en particular del primero $$s_n=\dfrac{a_1+a_{n}}{2}\cdot n$$ siendo $a_1=-1$ y $a_{100}=\dfrac{100-4}{3}=\dfrac{96}{3}=32$.

Basta, pues, con sustituir estos datos y obtenemos el siguiente valor para la suma pedida:

$s_{100}=\dfrac{-1+32}{2}\cdot 100$

  $=1\,550$

$\square$