ENUNCIADO. En la fiesta del vals, ahora, una tecera parte de los chicos están bailando con dos quintas partes de las chicas ( NOTA 1: definimos aquí una pareja de baila como aquella formado por un chico y una chica ). ¿ Qué fracción de personas no está bailando ? ( NOTA 2: Se supone que la mitad de los asistentes a la fiesta del vals son chicas y la otra mitad, chicos ).
SOLUCIÓN. Denotemos por $m$ el número de chicas que asisten a la fiesta, y, por $h$, al nombre de chicos que asisten a la fiesta. Según el enunciado, podemos plantear la siguiente igualdad ( que representa la mitad del número de personas que están bailando ): $$\dfrac{1}{3}\,h = \dfrac{2}{5}\,m \quad \quad (1)$$ por consiguiente, el número de personas que están bailando ( cada pareja de baile está formada por dos personas ) es igual a $2\cdot \dfrac{2}{5}\,m$ ( o lo que es lo mismo, $2\cdot \dfrac{1}{3}\,h$ )
De (1) se deduce que $$h=\dfrac{6}{5}\,m$$ Así que el número de personas que asisten a la fiesta es $$m+\dfrac{6}{5}\,m$$ es decir $$\dfrac{11}{5}\,m$$ y, por tanto, el número de personas que están bailando con respecto del total ( fracción de personas que están bailando ) es igual a $$\dfrac{2\cdot (2/5)\,m}{(11/5)\,m}$$ es decir $$\dfrac{4}{11}\,\text{partes del total de asistentes}$$
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domingo, 23 de septiembre de 2018
Manejo de un conjunto de condiciones para llegar a la solución
ENUNCIADO. En una sala de cine hay $100$ butacas, y menos de $70$ están vacías. Sabemos también que: dos terceras partes de los espectadores son mujeres, y que cinco octavas partes de los espectadores están llorando; por otra parte, también se sabe que los que no están llorando son un número impar. ¿ Cuántas personas hay en el cine ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de espectadores; por $m$ al núméro de mujeres que hay entre los espectadores y por $r$ al número de espectadores que están llorando. Así pues, $x\succ 30$; por otra parte: $m=\dfrac{2}{3}\,x$, luego $x = \dfrac{m}{2} \cdot 3 \Rightarrow x \in (\dot {3} )$; además, $r=\dfrac{5}{8}\,x$ con lo cual $x=\dfrac{r}{5}\cdot 8 \Rightarrow x \in (\dot{8})$. De lo anterior se deduce que $x \in ( \dot{\text{m.c.m}(3,8) } ) \cap \{x\in \mathbb{Z}^{+}: 30 \prec x \le 100\} $, es decir, $x \in \{48,72,96\}$.
Tengamos en cuenta ahora que el número de espectadores que no están llorando es igual a $\left(1-\dfrac{5}{8}\right)\,x$, esto es, $\dfrac{3}{8}\,x$ y que, por tanto, a cada uno de los tres elementos del conjunto 'posible número de espectadores', $\{48,72,96\}$, que hemos deducido arriba, le corresponde el número de espectadores que no están llorando del siguiente conjunto (en el mismo orden) $\{\dfrac{3}{8}\cdot 48=18,\dfrac{3}{8}\cdot 72=27,\dfrac{3}{8}\cdot 96=36\}$.
Veamos, finalmente, cuál de estos tres números corresponde a la solución pedida: el primer valor posible en relación a los espectadores que no están llorando es, $18$, que queda descartado, por ser número par, al igual que el tercero; sólo el segundo valor, $27$, es impar ( que corresponde a $x=72$). Por lo tanto el número de espectadores pedido es $72$.
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SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de espectadores; por $m$ al núméro de mujeres que hay entre los espectadores y por $r$ al número de espectadores que están llorando. Así pues, $x\succ 30$; por otra parte: $m=\dfrac{2}{3}\,x$, luego $x = \dfrac{m}{2} \cdot 3 \Rightarrow x \in (\dot {3} )$; además, $r=\dfrac{5}{8}\,x$ con lo cual $x=\dfrac{r}{5}\cdot 8 \Rightarrow x \in (\dot{8})$. De lo anterior se deduce que $x \in ( \dot{\text{m.c.m}(3,8) } ) \cap \{x\in \mathbb{Z}^{+}: 30 \prec x \le 100\} $, es decir, $x \in \{48,72,96\}$.
Tengamos en cuenta ahora que el número de espectadores que no están llorando es igual a $\left(1-\dfrac{5}{8}\right)\,x$, esto es, $\dfrac{3}{8}\,x$ y que, por tanto, a cada uno de los tres elementos del conjunto 'posible número de espectadores', $\{48,72,96\}$, que hemos deducido arriba, le corresponde el número de espectadores que no están llorando del siguiente conjunto (en el mismo orden) $\{\dfrac{3}{8}\cdot 48=18,\dfrac{3}{8}\cdot 72=27,\dfrac{3}{8}\cdot 96=36\}$.
Veamos, finalmente, cuál de estos tres números corresponde a la solución pedida: el primer valor posible en relación a los espectadores que no están llorando es, $18$, que queda descartado, por ser número par, al igual que el tercero; sólo el segundo valor, $27$, es impar ( que corresponde a $x=72$). Por lo tanto el número de espectadores pedido es $72$.
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Un ejercicio de proporcionalidad directa
ENUNCIADO. Un excursionista asciende por la ledera de una montaña, de pendiente constante, a una velocidad constante. A las 14:00 ha realizado $1/6$ del recorrido, a las 16:00 ha realizado $3/4$ del recorrido. ¿ Qué fracción del recorrido ha realizado a las 15:00 ?
SOLUCIÓN. Las magnitudes fracción del recorrido realizada y tiempo empleado en hacerlo son proporcionales, pues el excursionista asciende a velocidad constante, por lo quepodemos plantear una proporción directa entre sendas magnitudes. Denotemos por $x$ a la fracción del recorrido lleva hecha hasta las 15:00, entonces $$\dfrac{x-1/6}{15-14}=\dfrac{3/4-1/6}{16-14}$$ y por tanto $$\dfrac{14}{48}=x-1/6$$ así que despejando la incógnita llegamos a $$x=\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{24}\,\text{partes del recorrido}$$
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SOLUCIÓN. Las magnitudes fracción del recorrido realizada y tiempo empleado en hacerlo son proporcionales, pues el excursionista asciende a velocidad constante, por lo quepodemos plantear una proporción directa entre sendas magnitudes. Denotemos por $x$ a la fracción del recorrido lleva hecha hasta las 15:00, entonces $$\dfrac{x-1/6}{15-14}=\dfrac{3/4-1/6}{16-14}$$ y por tanto $$\dfrac{14}{48}=x-1/6$$ así que despejando la incógnita llegamos a $$x=\dfrac{7}{24}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{24}\,\text{partes del recorrido}$$
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Cálculos por inducción
ENUNCIADO. Calcúlese el resultado de la siguiente operación $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1+\dfrac{1}{4}\right)\cdot \, \ldots \, \cdot \left(1+\dfrac{1}{99}\right)$$
SOLUCIÓN. Observemos que: $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}$$ $$\ldots$$ $$\left(1+\dfrac{1}{98}\right)=\dfrac{99}{98}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{99}\right)=\dfrac{100}{99}$$ luego la operación propuesta resulta ser equivalente a $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4} \cdot \,\ldots \,\cdot \dfrac{99}{88}\cdot \dfrac{100}{99}$$ y, por las cancelaciones entre numerador y denominador, es evidente que es igual a $\dfrac{100}{2}$, esto es, $50$
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SOLUCIÓN. Observemos que: $$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{5}{4}$$ $$\ldots$$ $$\left(1+\dfrac{1}{98}\right)=\dfrac{99}{98}$$ $$\left(1+\dfrac{1}{99}\right)=\dfrac{100}{99}$$ luego la operación propuesta resulta ser equivalente a $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{5}{4} \cdot \,\ldots \,\cdot \dfrac{99}{88}\cdot \dfrac{100}{99}$$ y, por las cancelaciones entre numerador y denominador, es evidente que es igual a $\dfrac{100}{2}$, esto es, $50$
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jueves, 20 de septiembre de 2018
Un ejercicio de mezclas
ENUNCIADO. En una jarra mezclamos naranja y limón ( exprimidos ) a partes iguales. Una tercera parte del contenido de dicha jarra la ponemos en una segunda jarra ( inicialmente vacía ), idéntica a la primera; y la acabamos de llenar con limón exprimido. ¿ Cuántas partes de naranja sobre el total de la misma tiene la segunda jarra ? ¿ Cuántas partes de limón tiene ?
SOLUCIÓN. El contenido de naranja de la segunda jarra ( partes de naranja con respecto del total ) es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}$, esto es, $\dfrac{1}{6}$; por otra parte, el contenido en limón es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$ ( partes de limón con respecto del total ).
NOTA: Otra forma de razonarlo, algo más pormenorizada es la siguiente. Sea $x$ un número (arbitrario) de partes iguales en que dividimos el contenidos de una u otra jarra. El contenido en partes de naranja de la primera jarra es $\dfrac{1}{2}\,x$, lo mismo que el contenido en partes de limón.
El contenido en partes de naranja de la segunda jarra es, según el enunciado, $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\,x$, esto es, $\dfrac{1}{6}\,x$, luego el número de partes de naranja sobre el total (fracción de naranja) de la segunda jarra es $\dfrac{(1/6)\,x}{x}$, es decir $\dfrac{1}{6}$. De ahí, deducimos que el contenido en partes de limón de la segunda jarra es $x-\dfrac{1}{6}\,x$, o lo que es lo mismo, $\dfrac{5}{6}\,x$; por consiguiente, el número de partes de limón sobre el total (fracción de limón) de la segunda jarra es $\dfrac{(5/6)\,x}{x}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$
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SOLUCIÓN. El contenido de naranja de la segunda jarra ( partes de naranja con respecto del total ) es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}$, esto es, $\dfrac{1}{6}$; por otra parte, el contenido en limón es $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$ ( partes de limón con respecto del total ).
NOTA: Otra forma de razonarlo, algo más pormenorizada es la siguiente. Sea $x$ un número (arbitrario) de partes iguales en que dividimos el contenidos de una u otra jarra. El contenido en partes de naranja de la primera jarra es $\dfrac{1}{2}\,x$, lo mismo que el contenido en partes de limón.
El contenido en partes de naranja de la segunda jarra es, según el enunciado, $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\,x$, esto es, $\dfrac{1}{6}\,x$, luego el número de partes de naranja sobre el total (fracción de naranja) de la segunda jarra es $\dfrac{(1/6)\,x}{x}$, es decir $\dfrac{1}{6}$. De ahí, deducimos que el contenido en partes de limón de la segunda jarra es $x-\dfrac{1}{6}\,x$, o lo que es lo mismo, $\dfrac{5}{6}\,x$; por consiguiente, el número de partes de limón sobre el total (fracción de limón) de la segunda jarra es $\dfrac{(5/6)\,x}{x}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$
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lunes, 10 de septiembre de 2018
Ángulo que forman las agujas del reloj (horaria y minutera) a una hora dada
ENUNCIADO. Calcúlese el ángulo que forman la aguja horaria y la minutera en el instante en que un reloj marca las 15:40:00
SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$
Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:
$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$
Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$
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SOLUCIÓN. Tomemos como referencia angular la semirrecta que pasa por el centro del círculo del reloj y por el punto $M$ del mismo que indica las doce. Denotemos por $\alpha_{m}$ el ángulo que forma la aguja minutera con la semirrecta $OM$ a la hora indicada, y por $\alpha_h$ el ángulo que forma la aguja horaria con la semirrecta $OM$ a la hora indicada. Entonces, el ángulo pedido es igual a la diferencia de dichos ángulos, esto es $|\alpha_{m}-\alpha_{h}|$
Como el movimiento circular de sendas agujas es uniforme, podemos calcular los ángulos que necesitamos mediante dos proporciones directas simples, esto es:
$\dfrac{\alpha_h}{3\cdot 60+40}=\dfrac{360º}{12\cdot 60}$, de donde $\alpha_h=\dfrac{3\cdot 60+40}{12\cdot 60}\cdot 360º = 110º$
y
$\dfrac{\alpha_m}{40}=\dfrac{360º}{60}$, de donde $\alpha_m=\dfrac{40}{60}\cdot 360º = 240º$
Así que el ángulo pedido es igual a $$|\alpha_{m}-\alpha_{h}| = 240º - 110º =130º$$
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