Averiguando si un cierto valor de una variable estadística es atípico

ENUNCIADO. Hemos hecho un estudio estadístico de una cierta característica ( variable estadística ), obteniendo los siguientes valores para los cuartiles primero, segundo y tercero: $Q_1=12$, $Q_2=M=13$ y $Q_3=16$. Decir razonadamente si algunos de los datos (de dicha variable estadística) que damos a continuación pueden ser considerados atípicos: $5, 12, 23, 3, 15$

SOLUCIÓN. Decimos que un cierto valor $k$ de una variable estadística $X$ es atípico si $k \notin I$, siendo $I$ el intervalo $( Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\,Q_3-1,5\cdot \text{RIQ})$, donde $\text{RIQ}=\left|Q_3-Q_1\right|$ ( rango intercuartílico ).

En nuestro caso, $\text{RIQ}=\left|16-12\right|=4$; entonces $I=(12-1,5\cdot 4\,,\, 16+1,5 \cdot 4 )= ( 6\,,\, 22)$. Vemos pues que $3$, $5$ y $23$ no pertenecen a dicho intervalo, luego debemos considerar dichos valores como atípicos, a diferencia de $12$ y $15$ que sí están en ese intervalo.

A continuación, se representa del digrama de caja y bigotes ( o diagrama de Tukey ) en el que se muestran los valores atípicos con un símbolo de rombo ( suele emplearse también un asterisco ):

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Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 10 y 12, realizado el miércoles 3/05/2017

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Funciones cuadráticas. Parábolas

ENUNCIADO. Sea la función cuadrática $f(x)=x^2+2x-3$, cuya gráfica es una parábola. Se pide:
a) Las coordenadas de los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas.
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y la ecuación de la recta de simetría de la misma
c) ¿Cuál es el valor de la ordenada en el origen?

SOLUCIÓN.
a) Los puntos de corte tienen ordenada igual a cero, luego igualando a cero los valores de función podemos escribir $$0=x^2+2\,x-3$$ de coeficientes $a=1$, $b=2$ y $c=-3$ Resolviéndola obtenemos $$x=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{-2\pm \sqrt{14}}{2}$$ Encontramos pues dos raíces: $r_1=\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ y $r_2=\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}$, por consiguiente hay dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2},0)$ y $A_2(\dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2},0)$

b) La abscisa del vértice es el punto medio del segmento ( intervalo del eje de abscisas ) cuyos extremos son las raíces encontradas, por lo tanto $$x_V=\dfrac{\dfrac{-2 - \sqrt{14}}{2}+ \dfrac{-2 + \sqrt{14}}{2}}{2}=-1$$
y la ordenada ( del vértice ) es la imagen de su abscisa, luego $y_V=f(x_V)=f(-1)=(-1)^2+2\cdot (-1)-3=-4$. Así pues obtenemos $V(-1,-4)$

c) La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$, esto es $f(0)=-3$ ( el valor del coeficiente $c$ ). Por tanto, las coordenadas del punto de corte con el eje de ordenadas es $C(0,-3)$

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Rectas en el plano

ENUNCIADO. Dada la recta cuya ecuación en forma general es $$r:2\,x+3\,y+1=0$$ Se pide:
a) La gráfica de dicha función en un diagrama cartesiano
b) Escribir la ecuación de dicha recta en forma explícita
c) ¿ Cuál es el valor de la pendiente de esa recta ?
d) ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?

SOLUCIÓN.

Dominio de definición y conjunto imagen de una función. Ejemplo.

ENUNCIADO. Determínese el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$, definida de $\mathbb{R}$ ( conjunto de partida ) en $\mathbb{R}$ ( conjunto de llegada ).

SOLUCIÓN. Los números negativos no tienen raíz cuadrada definida, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Por otra parte el valor absoluto $\left|\,\sqrt{.}\,\right|$ no permite números negativos como valores de función, luego $\text{Im}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. $\square$

Puntos de corte de la gráfica de una función con los ejes de coordenadas

ENUNCIADO. Hállense las coordenadas de los puntos de corte con los ejes de coordenadas cartesianas de las gráficas de las siguientes funciones:
a) $f(x)=4\,x+5$
b) $g(x)=x^2-x-2$
c) $h(x)=\dfrac{2\,x+3}{x}$

SOLUCIÓN.

Curvas que no corresponden a funciones

ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio igual a la unidad. ¿ Puede decirse que dicha gráfica corresponde a una función ? Razonar la respuesta de acuerdo con la definición de función.

SOLUCIÓN.

Funciones periódicas

ENUNCIADO. Esbozar la gráfica de una función periódica que tenga período igual a $2$

SOLUCIÓN.
Decimos que una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es periódica si existe un número real $T$ ( período de $f$ ) tal que $f(x+T)=f(x)$ para todo $x$ del dominio de definición de la función.

Ejemplo:

Dibujar la gráfica de la función lineal afín a partir de la raíz y de la ordenada en el origen

ENUNCIADO. Dibújese la gráfica de la función lineal afín tal que $3$ sea raíz de dicha función y que la ordenada en el origen tenga el valor $4$

SOLUCIÓN.

Estudio de la incidencia de rectas en el plano

ENUNCIADO. Sea el siguiente par de rectas:
  $r:\,y=x-1$
  $s:y=-x+1$
Teniendo en cuenta el valore de la pendiente y el de la ordenada en el origen de cada una de las rectas, estúdiese la incidencia de las mismas. Si procediese, calcúlense las coordenadas del punto de intersección de las mismas.

SOLUCIÓN. Las pendientes son $m_r=1$ y $m_s=-1$; como $m_r \neq m_s$, las rectas no son paralelas, luego son secantes, luego se intersecan en un punto del plano $I$.

Vamos a calcular ahora las coordenadas del punto de intersección; para ello, hay que resolver el sistema de ecuaciones. Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos la ecuación ( equivalente a cualquiera de las dos ) $2\,y=0$ y por tanto $y_I=0$. Sustituyendo ahora en una de las dos ecuaciones originales, pongamos que en la primera, encontramos $0=x-1$, cuya solución es $x=1$, esto es, $x_I=1$. Por consiguiente, el punto de intersección de las dos rectas es $I(1,0)$. $\square$

Puntos de la gráfica de una función

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=6\,x+7$. Averíguese si los siguientes puntos están en la gráfica de dicha función: $A(\frac{1}{2},10)$, $B(-2,-4)$, $C(-\frac{1}{3},\dfrac{1}{2})$

SOLUCIÓN.

$f(x_A)=f(\frac{1}{2})=6 \cdot \dfrac{1}{2}+7=3+7=10=y_A$, luego $A$ está en la gráfica de $f$

$f(x_B)=f(-2)=6 \cdot (-2)+7=-12+7=-5\neq -4=y_B$, luego $B$ no está en la gráfica de $f$

$f(x_C)=f(-\frac{1}{3})=6 \cdot (-\dfrac{1}{3})+7=-2+7= 5\neq \dfrac{1}{2}=y_C$, luego $C$ no está en la gráfica de $f$

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Funciones pares, impares y ni de un tipo ni del otro

ENUNCIADO. Averiguar si las siguientes funciones son pares o impares:
a) $f(x)=x^3+x$
b) $g(x)=x^4+1$
c) $h(x)=x^2+x$

SOLUCIÓN. Recordemos que una función es par si $\ell(x)=\ell(-x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del eje de ordenadas ); y se dice impar si $\ell(-x)=-\ell(x)$ ( la gráfica de la función es simétrica con respecto del origen de coordenadas ). Desde luego, hay funciones que no son pares ni impares. Veamos qué sucede con las funciones propuestas.

a)
    $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$, luego $f$ es impar

b)
    $g(-x)=(-x)^4+1=x^4+1=g(x)$, luego $g$ es par

c)
    $h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq f(x)$, luego $f$ no es par
    $h(-x)=(-x)^2+(-x)=x^2-x \neq -f(x)$, luego $f$ no es impar

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Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación de los temas 6,7,8 y 9, realizado el miércoles 19/04/2017

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